Олимпиадная задача по тригонометрии для 9–10 класса — доказательство неравенства для косинуса

tgϕ=(1+ sinα sinβ)/ cosα cosβ . Положим, что sinϕ=(1+ sinα sinβ)c, cosϕ=c cosα cosβ . Тогда

cos 2ϕ= cos²ϕ- sin²ϕ= cos²α cos²β· c²-(1+ sinα sinβ)²c²=

=c²( cosα cosβ+1+ sinα sinβ)( cosα cosβ-1- sinα sinβ)=

=c²( cos(α-β)+1)( cos(α+β)-1).

Первые два сомножителя неотрицательны, а третий – неположителен. Поэтому cos 2ϕ неположителен.

Ответ задачи отсутствует