Олимпиадная задача по тригонометрии: доказательство равенства sin 36° = 1/4√5 + 1

1-й способ. sin 36^o= . cos 72^o определим из рассмотрения правильного десятиугольника. Если центр правильного десятиугольника соединить с его вершинами, то он разобьётся на 10 равнобедренных треугольников с углом36^o при вершине и углами по72^o при основании. Рассмотрим один из таких треугольников (рис.) AOB=36^o, OAB= OBA=72^o, AB=a, AO=BO=b . Проведём биссектрису угла OBA : OBC= CBA=36^o . Треугольники AOB и CBA подобны. OC=CB=AB=a, AC=OA-OC=b-a . Из подобия треугольников CB:AC=OB:AB, a:(b-a)=b:a , a²+ab-b²=0, a=b(-1)/2(берём лишь положительный корень квадратного уравнения).

Проведём высоту OD треугольника OAB . Тогда cos OBA= cos 72⁰=BD:OB, BD=AB/2=a/2=b(-1)/4, OB=b, cos 72⁰=(-1)/4. Подставив значение cos 72^o , получим искомое значение sin 36^o . Можно было бы найти непосредственно значение sin 36⁰ из треугольника BCO , опустив его высоту из точки O . Тогда дополнительно надо было бы вычислить эту высоту.

2-й способ. sin 36^o= cos 54^o,; 2 sin 18^o cos 18^o= cos³18^o-3 sin²18⁰ cos 18^o (применили формулу синуса двойного и косинуса тройного аргумента). Сократим на cos 18^o :

2 sin 18^o=cos²18^o-3 sin²18^o или sin 18^o=1-4 sin² 18^o.

Из этого уравнения найдём sin 18^o=(-1+)/4(второй корень квадратного уравнения не может быть значением синуса). Затем находим значение cos 18^o=/4и значение sin 36^o по формуле синуса двойного аргумента.

Ответ задачи отсутствует