Олимпиадная задача по теории чисел для 8-10 классов: целые решения x²y = 10000x + y

  10000x = y(x² – 1).  Так как x и  x² – 1  взаимно просты, то 10000 делится на  x² – 1.

  Если x нечётно, то  x² – 1 = (x – 1)(x + 1)  делится на 8 как произведение двух последовательных чётных чисел. Если же x чётно, то  x² – 1  нечётно, и, следовательно, должно равняться степени пятёрки с некоторым знаком.  x – 1  и  x + 1  одновременно не могут делиться на 5, следовательно,  x – 1 = ±1  или  x + 1  = ±1.  Проверяя эти варианты, находим решение  x = 0.  Тогда и  y = 0.

  Осталось рассмотреть все делители 10000, делящиеся на 8, и проверить, какие из них можно представить в виде  x² – 1.  Всего таких делителей 10:  2³, 2⁴, 5·2³, 5·2⁴, 5²·2³, 5²·2⁴, 5³·2³, 5³·2⁴, 5⁴·2³, 5⁴·2⁴. Среди них подходят только 8 и 80. Это даёт ещё четыре решения:  (±3, ±3750)  и  (±9, ±1125).

(–9, –1125),  (–3, –3750),  (0, 0),  (3, 3750),  (9, 1125).