Олимпиадные задачи из источника «2004/2005»

Петя тратит ⅓ своего времени на игру в футбол, ⅕ – на учебу в школе, ⅙ – на просмотр кинофильмов, ¹/₇₀ – на решение олимпиадных задач и ⅓ – на сон. Можно ли так жить?

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно три точки.

Петя и Миша играют в такую игру. Петя берёт в каждую руку по монетке: в одну – 10 коп., а в другую – 15. После этого содержимое левой руки он умножает на 4, 10, 12 или 26, а содержимое правой руки – на 7, 13, 21 или 35. Затем Петя складывает два получившихся произведения и называет Мише результат. Может ли Миша, зная этот результат, определить, в какой руке у Пети – правой или левой – монета достоинством в 10 коп.?

На шахматной доске 8×8 расставлено наибольшее возможное число слонов так, что никакие два слона не угрожают друг другу.

Доказать, что число всех таких расстановок есть точный квадрат.

Сколько квадратов со сторонами по линиям сетки можно нарисовать на доске 8×8?

Докажите, что число способов расставить на шахматной доске максимальное число ферзей чётно.

Какое максимальное число ферзей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?

Какое максимальное число королей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?

Сколькими способами можно расставить чёрную и белую ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

В центре круглого бассейна плавает ученик. Внезапно к бассейну подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?

Расшифровать пример на умножение, если буквой Ч зашифрованы чётные числа, а буквой Н – нечётные. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102865/problem_102865_img_2.gif"></div>

Какие буквы соответствуют цифрам частного? Восстановите все цифры, если с = 7. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102864/problem_102864_img_2.gif"></div>

Восстановите пример на умножение <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102863/problem_102863_img_2.gif"></div>

<b>Умножение чисел.</b>Восстановите пример на умножение натуральных чисел, если известно, что сумма цифр у обоих сомножителей одинакова. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/102862/problem_102862_img_2.gif"></div>

<b>Ребус.</b>Решите числовой ребус<i>АААА</i>−<i>ВВВ</i>+<i>СС</i>−<i>К</i>=1234 (разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым одинаковые)

Можно ли в прямоугольник 5×6 поместить прямоугольник 3×8?

Может ли быть верным равенство  К×О×Т = У×Ч×Е×Н×Ы×Й,  если вместо букв в него подставить цифры от 1 до 9 (разным буквам соответствуют разные цифры)?

Подсчитать сумму цифр числа (999..99)³(в скобке 2002 девятки).

Найти сумму 1 + 2002 + 2002²+ ... + 2002^<i>n</i>.

Решите уравнение  12<i>a</i> + 11<i>b</i> = 2002  в натуральных числах.

Решите уравнение в целых числах  <i>m</i>² − <i>n</i>² = 2002.

Решить ребус<i>AC</i> · <i>CC</i> · <i>K</i> = 2002 (разным цифрам соответствуют разные буквы и наоборот).

На какие простые числа, меньшие 17, делится число  2002²⁰⁰² − 1?

<b>Ищем верное утверждение.</b>В тетради написано сто утверждений:

1. В этой тетради ровно одно ложное утверждение.
2. В этой тетради ровно два ложных утверждения. ...
3. В этой тетради ровно сто ложных утверждений. Какое из этих утверждений верно, если известно, что только одно верное?