Олимпиадные задачи из источника «Занятие 21. Разные задачи»

Клетки квадратной таблицы 15×15 раскрашены в красный, синий и зелёный цвета.

Докажите, что найдутся, по крайней мере, две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.

Существуют ли такие двузначные числа  <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span>,  <span style="text-decoration: overline;"><i>cd</i></span>,  что  <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span>·<span style="text-decoration: overline;"><i>cd</i></span> = <span style="text-decoration: overline;"><i>abcd</i></span>.

<b>Сравнение площадей.</b>Точки E и F — середины сторон BC и CD квадрата ABCD. Отрезки AE и BF пересекаются в точке K. Что больше: площадь треугольника AKF или площадь четырехугольника KECF?

<b>Два взвешивания.</b>Имеется 7 внешне одинаковых монет, среди которых 5 настоящих (все — одинакового веса) и 2 фальшивых (одинакового между собой веса, но легче настоящих). Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить 3 настоящие монеты?

Сумма пяти чисел равна 200. Докажите, что их произведение не может оканчиваться на 1999.

В США дату принято записывать так: номер месяца, потом номер дня и год. В Европе же сначала идёт число, потом месяц и год. Сколько в году дней, дату которых нельзя прочитать однозначно, не зная, каким способом она написана?

Может ли разность двух чисел вида  <i>n</i>² + 4<i>n</i>  (<i>n</i> – натуральное число) равняться 1998?