Олимпиадные задачи из источника «Занятие 20. Разные задачи»
Занятие 20. Разные задачи
НазадПри каких значениях <i>a</i> и <i>b</i> выражение <i>p</i> = 2<i>a</i>² − 8<i>ab</i> + 17<i>b</i>² − 16<i>a</i> − 4<i>b</i> + 2044 принимает наименьшее значение? Чему равно это значение?
Двое пишут 2<i>k</i>-значное число, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй. Третью снова первый и т.д. Может ли первый добиться того, чтобы полученное число делилось на 9, если второй хочет этому помешать? Рассмотреть случаи: а) <i>k</i> = 10; б) <i>k</i> = 15.
Решить уравнение [<i>x</i>³] + [<i>x</i>²] + [<i>x</i>] = {<i>x</i>} − 1.
Внутри квадрата со стороной 1 расположены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 0,51. Доказать, что найдется прямая, которая параллельна одной из сторон квадрата и пересекает, по крайней мере, 2 круга.
Доказать, что каждое из чисел последовательности 11, 111, 1111, ... не является квадратом натурального числа.
<b>Целое число.</b>Доказать, что если<img align="middle" src="/storage/problem-media/102793/problem_102793_img_2.gif">- целое число, то<img align="middle" src="/storage/problem-media/102793/problem_102793_img_3.gif">- тоже целое число.
<b>Найти множество точек.</b>Даны две точки<i>А</i>и<i>В</i>. Найти множество точек, каждая из которых является симметричным образом точки<i>А</i>относительно некоторой прямой, проходящей через точку<i>В</i>.
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?