Олимпиадные задачи из источника «Занятие 3.»

Обозначим сумму трёх последовательных натуральных чисел через <i>a</i>, а сумму трёх следующих за ними чисел – через <i>b</i>.

Может ли произведение <i>ab</i> равняться 1111111111?

Можно ли расставить на ребрах куба числа от 1 до 12 так, чтобы все суммы чисел на гранях были одинаковыми?

Кащей Бессмертный загадывает три двузначных числа:<var>a</var>,<var>b</var>,<var>c</var>. Иван Царевич должен назвать ему три числа:<var>X</var>,<var>Y</var>,<var>Z</var>, после чего Кащей сообщает ему сумму<var>aX</var>+<var>bY</var>+<var>cZ</var>. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Какие числа он должен загадать, чтобы остаться в живых?

Существуют ли такие натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i>, что дроби  ^<i>a</i>/_<i>b</i>, ^<i>a</i>+1/_<i>b</i>, ^<i>a</i>+1/_<i>b</i>+1  несократимы?

На Солнечном острове живет 20 белых и 25 чёрных хамелеонов (хамелеоны – это животные, умеющие менять свой цвет). При встрече оба хамелеона меняют свой цвет на противоположный. Могут ли все хамелеоны окраситься в один цвет?

После кризиса все цены поднялись на 25%. На сколько процентов меньше товаров можно купить на ту же зарплату?

Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?

а) Докажите, что  <i>p</i>² – 1  делится на 24, если <i>p</i> – простое число и  <i>p</i> > 3.

б) Докажите, что  <i>p</i>² – <i>q</i>²  делится на 24, если <i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3.