Олимпиадные задачи из источника «Занятие 11. Оценки»
Занятие 11. Оценки
Назад175 шалтаев стоят дороже, чем 125 болтаев, но дешевле, чем 126 болтаев. Доказать, что на покупку трёх шалтаев и одного болтая не хватит:
а) 80 коп.;
б) одного рубля.
Докажите, что <img src="/storage/problem-media/88321/problem_88321_img_2.gif" width="135" height="41" align="middle">.
Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?
Хулиганы Вася и Петя порвали стенгазету, причём Петя рвал каждый кусок на 5 частей, а Вася на 9. При попытке собрать стенгазету нашли 1988 обрывков. Докажите, что нашли не все кусочки.
В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все они равны.
Что больше 200! или 100<sup>200</sup>?
Докажите, что в десятичной записи чисел 1990<sup>2003</sup> и 1990<sup>2003</sup> + 2<sup>2003</sup> одинаковое число цифр.
Доказать, что при любом целом положительном <i>n</i> сумма <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/76502/problem_76502_img_2.gif"> больше ½.
9 кг ирисок стоят дешевле 10 рублей, а 10 кг тех же ирисок – дороже 11 рублей. Сколько стоит 1 кг этих ирисок?
На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка <i>AB</i>. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки <i>A</i> не равна сумме расстояний от этих точек до точки <i>B</i>.