Олимпиадные задачи из источника «1970 год» - сложность 3 с решениями

Доказать, что если натуральное число <i>k</i> делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.

Квадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?

Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или же во всех клетках одного столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями, получить ровно 1970 минусов?

В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии). Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают представителя группы "<i>выборщика</i>" для голосования в большей группе: выборщики в...

При каких <i>n</i> гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., <i>n</i> г можно разложить на три равные по массе кучки?

a) Найдите число<i>k</i>, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и<i>k</i>). б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не будет.

<div class="catalogueproblemauthor">Автор: Г.А.Гальперин</div><img src="/storage/problem-media/73589/problem_73589_img_2.gif" width="260" height="181" vspace="10" hspace="20" align="right">Два одинаковых прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что площадь пересечения этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.

Если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1. Докажите это.

На карточках написаны все числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки выложили в цепочку в произвольном порядке.

Докажите, что полученное 444445-значное число не является степенью двойки.

Для любого натурального<nobr>числа <i>K</i></nobr>существует бесконечно много натуральных<nobr>чисел <i>Т</i>,</nobr>не содержащих в десятичной записи нулей и таких, что сумма цифр<nobr>числа <i>KТ</i></nobr>равна сумме цифр<nobr>числа <i>Т</i>.</nobr>Докажите это.

<img src="/storage/problem-media/73578/problem_73578_img_2.gif" width="285" height="242" vspace="10" hspace="20" align="right">Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на<nobr><i>n</i> равных</nobr>частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на<i>n</i>²треугольничков. Назовём цепочкой последовательность треугольничков, в которой ни один не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в цепочке?

Предположим, что в каждом номере нашего журнала в задачнике «Кванта» будет пять задач по математике. Обозначим через<nobr><i>f</i>(<i>x</i>, <i>y</i>)</nobr>номер первой из задач<nobr><i>x</i>-го</nobr>номера за<nobr><i>y</i>-й</nobr>год. Напишите общую формулу для<nobr><i>f</i>(<i>x</i>, <i>y</i>),</nobr>где<nobr>1 <font face="Symbol">£</font> <i>x</i> <font face="Symbol">£</font> 12</nobr>и<nobr>1970 <font face="Symbol">£</font> <i>x</i> <font face="Symbol">£</font> 1989.</nobr>Решите уравнение<nobr><i&g...

В множестве, состоящем из <i>n</i> элементов, выбрано 2^<i>n</i>–1 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент.

Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.

Для любого натурального числа <i>n</i>, большего единицы, квадрат отношения произведения первых <i>n</i> нечётных чисел к произведению первых <i>n</i> чётных чисел больше числа ¹/_4<i>n</i>, но меньше числа ³/_8<i>n</i>. Докажите это.

Если многочлен с целыми коэффициентами при трёх различных целых значениях переменной принимает значение 1, то он не имеет ни одного целого корня. Докажите это.

<img src="/storage/problem-media/73546/problem_73546_img_2.gif" width="191" height="185" vspace="10" hspace="20" align="right">а) На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один – по часовой стрелке, другой – против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном дереве.

б) А если чижей и деревьев <i>n</i>?

<i>a, b, c</i> – длины сторон треугольника. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73542/problem_73542_img_2.gif">

Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая,

а какая – минутная?

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.

Окружность, построенная на высоте <i>AD</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> как на диаметре, пересекает катет <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а катет <i>AC</i> — в точке <i>M</i>. Отрезок <i>KM</i> пересекает высоту <i>AD</i> в точке <i>L</i>. Известно, что отрезки <i>AK</i>, <i>AL</i> и <i>AM</i> составляют геометрическую прогрессию (т.е. <!-- MATH $\frac{AK}{AL} = \frac{AL}{AM}$ --> ${\frac{AK}{AL}}$ = ${\frac{AL}{AM}}$). Найдите острые углы треугольника <i>ABC</i>.

Дан отрезок <i>AB</i>. Найдите на плоскости множество таких точек <i>C</i>, что медиана треугольника <i>ABC</i>, проведённая из вершины <i>A</i>, равна высоте, проведённой из вершины <i>B</i>.

В угол вписаны две окружности; одна из них касается сторон угла в точках <i>K</i>₁ и <i>K</i>₂, а другая — в точках <i>L</i>₁ и <i>L</i>₂. Докажите, что прямая <!-- MATH $K_{1}L_{2}$ --> <i>K</i>₁<i>L</i>₂ высекает на этих двух окружностях равные хорды.

Три равных окружности<i> S</i>1,<i> S</i>2,<i> S</i>3попарно касаются друг друга, и вокруг них описана окружность<i> S </i>, которая касается всех трёх. Докажите, что для любой точки<i> M </i>окружности<i> S </i>касательная, проведённая из точки<i> M </i>к одной из трёх окружностей<i> S</i>1,<i> S</i>2,<i> S</i>3, равна сумме касательных, проведённых из точки<i> M </i>к двум другим окружностям.

Дана окружность, её диаметр <i>AB</i> и точка <i>C</i> на этом диаметре. Постройте на окружности две точки <i>X</i> и <i>Y</i>, симметричные относительно диаметра <i>AB</i>, для которых прямая <i>YC</i> перпендикулярна прямой <i>XA</i>.

К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.