Задача
a) Найдите числоk, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 иk). б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не будет.
Решение
Пусть 
– разложение числа M на простые множители; для определенности будем считать, что α1 ≥ α2 ≥ ... ≥ αr ≥ 1. Согласно формуле из задачи 160537 а) общее количество делителей M равно (α1 + 1)(α2 + 1)...(αr + 1). а) 14 = 7·2, поэтому r = 2, α1 = 6, α2 = 1. Мы знаем, что 3 входит в разложение M с показателем, большим 1, а 2 – с показателем, большим 0. Отсюда следует, что M = 36·2 = 1458. б) Для 15 делителей возможны ответы M = 32·24 и M = 34·22, а 17 делителей могут иметь только числа вида M = p16, где p – простое.
Ответ
а) 1458.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь