Олимпиадные задачи из источника «выпуск 7»

Имеется натуральное число  <i>n</i> > 1970.  Возьмём остатки от деления числа 2^<i>n</i> на 2, 3, 4, ..., <i>n</i>. Доказать, что сумма этих остатков больше 2<i>n</i>.

Доказать, что если натуральное число <i>k</i> делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.

Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.

Квадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?

Во всех клетках таблицы 100×100 стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках одной строки или же во всех клетках одного столбца. Можно ли, пользуясь только этими операциями, получить ровно 1970 минусов?