Олимпиадные задачи из источника «выпуск 10»

На карточках написаны все числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки выложили в цепочку в произвольном порядке.

Докажите, что полученное 444445-значное число не является степенью двойки.

Биссектриса<i>AD</i>, медиана<i>BM</i>и высота<i>CH</i>остроугольного треугольника<i>ABC</i>пересекаются в одной точке. Докажите, что величина угла<i>BAC</i><nobr>больше 45°.</nobr>

Из цифр 1 и 2 составили пять <i>n</i>-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в <i>m</i> разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Докажите, что отношение ^<i>m</i>/_<i>n</i> не меньше &frac25; и не больше &frac35;.

Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?

Вершины правильного <i>n</i>-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.

Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.