Пусть O1, O2, O3, O — центры окружностей S1, S2, S3, S соответственно; A1, A2, A3— точки касания окружностей S1, S2, S3с окружностью S . Предположим, что точка M лежит на дуге A1A2, не содержащей точки A3. Обозначим через α , β , γ углы между лучом OM и лучами OO1, OO2, OO3соответственно. Тогда, если r — радус каждой из трёх меньших окружностей, а R — радиус большей, то по теореме косинусов

MO12 = R2 + (R-r)2 - 2R(R-r) cos α,

MO22 = R2 + (R-r)2 - 2R(R-r) cos β,

MO32 = R2 + (R-r)2 - 2R(R-r) cos γ.

Тогда квадраты касательных, проведённых из точки M к окружностям S1, S2, S3, соответственно равны:

MO12 - r2 = 2R(R-r)(1 - cos α) = 4R(R - r) sin 2 ,

MO22 - r2 = 2R(R-r)(1- cos β) = 4R(R-r) sin 2 ,

MO32 - r2 = 2R(R - r)(1 - cos γ) = 4R(R - r) sin 2 .

Поэтому касательные равны

2 sin , 2 sin , 2 sin

(синусы неотрицательны, т.к.

0 180^o, 0 180^o, 0 180^o).

Осталось проверить равенство

sin = sin + sin .

Действительно, рассмотрим равносторонний треугольник A1A2A2. Точка M лежит на его описанной окружности, поэтому MA1+MA2=MA3, а т.к.

MA1=2R sin , MA2=2R sin , MA1=2R sin ,

то

2R sin + 2R sin = 2R sin .

Следовательно,

sin = sin + sin .

Что и требовалось доказать. Указание.Утверждение останется верным, если в качестве S1, S2, S3взять любые равные окружности с центрами в вершинах правильного треугольника.

Ответ задачи отсутствует