Олимпиадные задачи из источника «выпуск 9»

а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это.

б) Из любых  2<i>n</i> – 1  целых чисел можно выбрать <i>n</i>, сумма которых делится на <i>n</i>. Докажите это.

Для любого натурального<nobr>числа <i>K</i></nobr>существует бесконечно много натуральных<nobr>чисел <i>Т</i>,</nobr>не содержащих в десятичной записи нулей и таких, что сумма цифр<nobr>числа <i>KТ</i></nobr>равна сумме цифр<nobr>числа <i>Т</i>.</nobr>Докажите это.

<img src="/storage/problem-media/73578/problem_73578_img_2.gif" width="285" height="242" vspace="10" hspace="20" align="right">Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на<nobr><i>n</i> равных</nobr>частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на<i>n</i>²треугольничков. Назовём цепочкой последовательность треугольничков, в которой ни один не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в цепочке?

Дана окружность, её диаметр <i>AB</i> и точка <i>C</i> на этом диаметре. Постройте на окружности две точки <i>X</i> и <i>Y</i>, симметричные относительно диаметра <i>AB</i>, для которых прямая <i>YC</i> перпендикулярна прямой <i>XA</i>.

К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.