Олимпиадные задачи из источника «выпуск 4»

Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.

<img src="/storage/problem-media/73554/problem_73554_img_2.gif" width="172" height="69" vspace="10" hspace="20" align="right">В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени<nobr><i>t</i> = 0</nobr>возбудить три соседние клетки...

  Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60°, спросил: "Как пройти в село <i>NN</i>?" Ему ответили: "Иди по левой дороге до деревни <i>N</i> – это в 8 верстах отсюда, – там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога – это как раз дорога в <i>NN</i>. А можешь идти другим путём: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге, – значит, половину пути прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого <i>NN</i>". – "Ну, а какой путь короче-то будет?" – "Да всё равно, что так, что этак, никакой разницы". И пошёл крестьянин по правой дороге.

  Сколько вёрст ему придётся идти до <i>NN</i>? Больше десяти или меньше? А если идти...

Если многочлен с целыми коэффициентами при трёх различных целых значениях переменной принимает значение 1, то он не имеет ни одного целого корня. Докажите это.

Три равных окружности<i> S</i>1,<i> S</i>2,<i> S</i>3попарно касаются друг друга, и вокруг них описана окружность<i> S </i>, которая касается всех трёх. Докажите, что для любой точки<i> M </i>окружности<i> S </i>касательная, проведённая из точки<i> M </i>к одной из трёх окружностей<i> S</i>1,<i> S</i>2,<i> S</i>3, равна сумме касательных, проведённых из точки<i> M </i>к двум другим окружностям.

На дуге <i>BC</i> окружности, описанной около равностороннего треугольника <i>ABC</i>, взята произвольная точка <i>P</i>. Докажите, что  <i>AP = BP + CP</i>.