Олимпиадные задачи из источника «выпуск 5»

Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.

В множестве, состоящем из <i>n</i> элементов, выбрано 2^<i>n</i>–1 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент.

Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.

Для любого натурального числа <i>n</i>, большего единицы, квадрат отношения произведения первых <i>n</i> нечётных чисел к произведению первых <i>n</i> чётных чисел больше числа ¹/_4<i>n</i>, но меньше числа ³/_8<i>n</i>. Докажите это.

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.

Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

Окружность касается стороны <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> в точке <i>M</i>, а продолжений сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> — в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>K</i>, а стороны <i>AB</i> — в точке <i>L</i>. Докажите, что:

а) отрезок <i>AP</i> равен полупериметру <i>p</i> треугольника <i>ABC</i>;

б) <i>BM</i> = <i>CK</i>;

в) <i>BC</i> = <i>PL</i>.

В угол вписаны две окружности; одна из них касается сторон угла в точках <i>K</i>₁ и <i>K</i>₂, а другая — в точках <i>L</i>₁ и <i>L</i>₂. Докажите, что прямая <!-- MATH $K_{1}L_{2}$ --> <i>K</i>₁<i>L</i>₂ высекает на этих двух окружностях равные хорды.