Покажем, что это можно сделать тогда и только тогда, когда  n > 3  и одно из чисел n или  n + 1  кратно 3. Необходимость этих условий очевидна, поскольку общий вес гирь  1 + 2 + 3 + ...+ n = ½ n(n + 1)  должен делиться на 3.

  Для доказательства достаточности заметим сначала, что разбиение возможно при n, равном 5, 6, 8 и 9 (это показано на рисунке). Все остальные интересующие нас значения n получаются из этих четырёх прибавлением некоторого количества шестёрок, а любую группу из шести последовательных целых чисел  a + 1, ..., a + 6  легко разбить на три пары чисел, дающих равные суммы:  {a + 1, a + 6},  {a + 2, a + 5},

{a + 3, a + 4}.

При  n > 3,  n ≡ 0, 2 (mod 3).