Олимпиадные задачи из источника «выпуск 2»

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1. все грани равновелики;

2. каждое ребро равно противоположному;

3. все грани равны;

4. центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5. суммы углов при каждой вершине равны;

6. сумма плоских углов при каждой вершине равна 180<i>^o </i>;

7. развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8. все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9. ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10. параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11...

Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

Двое играют в такую игру. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички. Выигрывает тот, у кого в конце

игры – после того, как все спички будут разобраны, – окажется чётное число спичек.

  а) Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его партнёр? Как он должен играть, чтобы выиграть?

  б) Как изменится ответ, если считать, что выигрывает забравший нечётное число спичек?

  в) Исследуйте эту игру в общем случае, когда спичек  2<i>n</i> + 1  и разрешено брать любое число спичек от 1 <nobr>до <i>m</i>.</nobr>

<i>a, b, c</i> – длины сторон треугольника. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73542/problem_73542_img_2.gif">

Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая,

а какая – минутная?