Олимпиадные задачи из источника «глава 28. Инверсия» для 11 класса

Каждая из шести окружностей касается четырех из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением<i>d</i>²=<i>r</i>₁²+<i>r</i>₂²±6<i>r</i>₁<i>r</i>₂(к плюск — если окружности не лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58359/problem_58359_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что для двух непересекающихся окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂цепочка из <i>n</i>касающихся окружностей (см. предыдущую задачу) существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями <i>T</i>₁и <i>T</i>₂, касающимися <i>R</i>₁и <i>R</i>₂в точках их пересечения с прямой, соединяющей центры, равен целому кратному угла360^<tt>o</tt>/<i>n</i>(рис.).

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58358/problem_58358_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что если существует цепочка окружностей<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,...,<i>S</i>_n, каждая из которых касается двух соседних (<i>S</i>_nкасается <i>S</i>_{n - 1}и <i>S</i>₁) и двух данных непересекающихся окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности <i>T</i>₁, касающейся <i>R</i>₁и <i>R</i>₂(одинаковым образом, если <i>R</i>₁и ...

Окружности<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,...,<i>S</i>_nкасаются двух окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂и, кроме того,<i>S</i>₁касается <i>S</i>₂в точке <i>A</i>₁,<i>S</i>₂касается <i>S</i>₃в точке <i>A</i>₂...,<i>S</i>_{n - 1}касается <i>S</i>_nв точке<i>A</i>_{n - 1}. Докажите, что точки<i>A</i><sub>1</sub&g...

Пусть на двух пересекающихся прямых <i>l</i>₁и <i>l</i>₂выбраны точки <i>M</i>₁и <i>M</i>₂, не совпадающие с точкой пересечения <i>M</i>этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через <i>M</i>₁,<i>M</i>₂и <i>M</i>. Если (<i>l</i>₁,<i>M</i>₁), (<i>l</i>₂,<i>M</i>₂), (<i>l</i>₃,<i>M</i>₃) — прямые с выбранными точками в общем положении...

В этой задаче мы будем рассматривать наборы из <i>n</i>прямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если <i>l</i>₁,<i>l</i>₂,<i>l</i>₃,<i>l</i>₄ — четыре прямые общего положения, то четыре окружности <i>S</i>_i, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой <i>l</i>_i, проходят через...

Стороны выпуклого пятиугольника<i>ABCDE</i>продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда<i>AHBKCLDMEN</i>(рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>, лежат на одной окружности. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58351/problem_58351_img_2.gif" border="1"></div>

Даны четыре окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃,<i>S</i>₄. Пусть <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃ — в точках <i>B</i>₁и <i>B</i>₂,<i>S</i>₃и <i>S</i>₄ — в точках <i>C</i>₁и <i>C</i>₂,&...

а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей (Фейербах). б) На сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки<i>C</i>₁и<i>B</i>₁так, что<i>AC</i>₁=<i>B</i>₁<i>C</i>₁и вписанная окружность<i>S</i>треугольника<i>ABC</i>является вневписанной окружностью треугольника<i>AB</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что вписанная окружность треугольника<i>AB</i>₁<i>C</i&gt...

Окружность<i>S</i>_Aпроходит через точки<i>A</i>и<i>C</i>; окружность<i>S</i>_Bпроходит через точки<i>B</i>и<i>C</i>; центры обеих окружностей лежат на прямой<i>AB</i>. Окружность<i>S</i>касается окружностей<i>S</i>_Aи<i>S</i>_B, а кроме того, она касается отрезка<i>AB</i>в точке<i>C</i>₁. Докажите, что<i>CC</i>₁ — биссектриса треугольника<i>ABC</i>.

Две окружности, пересекающиеся в точке <i>A</i>, касаются окружности (или прямой) <i>S</i>₁в точках <i>B</i>₁и <i>C</i>₁, а окружности (или прямой) <i>S</i>₂в точках <i>B</i>₂и <i>C</i>₂(причем касание в <i>B</i>₂и <i>C</i>₂такое же, как в <i>B</i>₁и <i>C</i>₁). Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников<i>AB</i>₁<i>C</i>₁и <i>AB</i><sub...

Через точки <i>A</i>и <i>B</i>проведены окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, касающиеся окружности <i>S</i>, и окружность <i>S</i>₃, перпендикулярная <i>S</i>. Докажите, что <i>S</i>₃образует равные углы с окружностями <i>S</i>₁и <i>S</i>₂.

Никакие три из четырех точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников<i>ABC</i>и <i>ABD</i>равен углу между описанными окружностями треугольников<i>ACD</i>и <i>BCD</i>.

В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156701">3.44</a>).

Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках <i>A</i>и <i>B</i>.

С помощью одного циркуля

  а) постройте точки пересечения данной окружности <i>S</i> и прямой, проходящей через данные точки <i>A</i> и <i>B</i>;

  б) постройте точку пересечения прямых <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂, где <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>A</i>₂ и <i>B</i>₂ – данные точки.

С помощью одного циркуля постройте окружность, проходящую через три данные точки.

С помощью одного циркуля постройте окружность, в которую переходит данная прямая<i>AB</i>при инверсии относительно данной окружности с данным центром <i>O</i>.

Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические центры треугольника переходят друг в друга.

Через точку <i>A</i>проведена прямая <i>l</i>, пересекающая окружность <i>S</i>с центром <i>O</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>и не проходящая через <i>O</i>. Пусть <i>M'</i>и <i>N'</i> — точки, симметричные <i>M</i>и <i>N</i>относительно<i>OA</i>, а <i>A'</i> — точка пересечения прямых<i>MN'</i>и <i>M'N</i>. Докажите, что <i>A'</i>совпадает с образом точки <i>A</i>при инверсии относительно <i>S</i>(и, следовательно, не зависит от выбора прямой <i>l</i>).

Докажите, что две непересекающиеся окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂(или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).