Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Вписанный угол» для 2-11 класса - сложность 3-4 с решениями

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем касательные к <i>S</i>₁в этих точках являются радиусами <i>S</i>₂. На внутренней дуге <i>S</i>₁взята точка <i>C</i>и соединена с точками <i>A</i>и <i>B</i>прямыми. Докажите, что вторые точки пересечения этих прямых с <i>S</i>₂являются концами одного диаметра.

На сторонах <i>AC</i>и <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены квадраты <i>ACA</i>₁<i>A</i>₂и <i>BCB</i>₁<i>B</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>B</i>,<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>AB</i>₁пересекаются в одной точке.

а) Из точки <i>A</i>проведены прямые, касающиеся окружности <i>S</i>в точках <i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны <i>BC</i>, лежат на окружности <i>S</i>. б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины <i>B</i>и <i>C</i>любого треугольника <i>ABC</i>и центр <i>O</i>его вписанной окружности, высекает на прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>равные хорды.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>лежат на окружности с центром <i>O</i>. Прямые <i>AB</i>и <i>CD</i>пересекаются в точке <i>E</i>, а описанные окружности треугольников <i>AEC</i>и <i>BED</i>пересекаются в точках <i>E</i>и <i>P</i>. Докажите, что: а) точки <i>A</i>,<i>D</i>,<i>P</i>и <i>O</i>лежат на одной окружности; б) $\angle$<i>EPO</i>= 90^<tt>o</tt>.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.

Прямая пересекает стороны <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>треугольника (или их продолжения) в точках <i>C</i>₁,<i>B</i>₁и <i>A</i>₁; <i>O</i>,<i>O</i>_a,<i>O</i>_bи <i>O</i>_c — центры описанных окружностей треугольников <i>ABC</i>,<i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>; <i>H&l...

Четыре прямые образуют четыре треугольника. а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (<i>точка Микеля</i>). б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что если треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁и <i>ABC</i>подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников <i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁и <i>A</i>₁<i>B</i>₁&lt...

Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка<i>X</i>. Прямые<i>AX</i>,<i>BX</i>и<i>CX</i>пересекают стороны треугольника в точках<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников<i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁и<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>пересекаются в точке<i>X</i>, то<i>X</i> — точка пересечения высот треугольника<i>ABC</i>.

Точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁движутся по прямым<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>так, что все треугольники<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек<i>A</i>₁,<i&...

а)<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Через вершины <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>проведены касательные к описанной окружности. Докажите, что образованный ими четырехугольник вписанный. б) Четырехугольник <i>KLMN</i>вписанный и описанный одновременно; <i>A</i>и <i>B</i> — точки касания вписанной окружности со сторонами <i>KL</i>и <i>LM</i>. Докажите, что <i>AK</i>^.<i>BM</i>=<i>r</i>², где <i>r</i> — радиус вписанной окружности.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Докажите, что середины сторон четырехугольника <i>ABCD</i>и проекции точки <i>P</i>на стороны лежат на одной окружности.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Докажите, что прямая, проведенная из точки <i>P</i>перпендикулярно <i>BC</i>, делит сторону <i>AD</i>пополам.

Продолжение биссектрисы <i>AD</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>E</i>. Из точки <i>D</i>на стороны <i>AB</i>и <i>AC</i>опущены перпендикуляры <i>DP</i>и <i>DQ</i>. Докажите, что <i>S</i>_ABC=<i>S</i>_APEQ.

Окружность <i>S</i>₁с диаметром <i>AB</i>пересекает окружность <i>S</i>₂с центром <i>A</i>в точках <i>C</i>и <i>D</i>. Через точку <i>B</i>проведена прямая, пересекающая <i>S</i>₂в точке <i>M</i>, лежащей внутри <i>S</i>₁, а <i>S</i>₁в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>MN</i>²=<i>CN</i>^.<i>ND</i>.

На высотах треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, делящие их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁; <i>B</i>₂и <i>C</i>₂ — середины высоты <i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₂<i>C</i>₂$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>.

Через точку <i>O</i>пересечения биссектрис треугольника <i>ABC</i>проведена прямая <i>MN</i>перпендикулярно <i>CO</i>, причем <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>AC</i>и <i>BC</i>соответственно. Прямые <i>AO</i>и <i>BO</i>пересекают описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A'</i>и <i>B'</i>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>A'N</i>и <i>B'M</i>лежит на описанной окружности.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Прямая <i>KL</i>параллельна <i>CC</i>₁, причем точки <i>K</i>и <i>L</i>лежат на прямых <i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>A</i>₁<i>KL</i>лежит на прямой <i>AC</i>.

Треугольники <i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁имеют соответственно параллельные стороны, причем стороны <i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁лежат на одной прямой. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения описанных окружностей треугольников <i>A</i>₁<i>BC</i>и <i>AB</i>₁<i>C</i>, содержит точку <i>C</i>₁.

Диагонали <i>AC</i>и <i>CE</i>правильного шестиугольника <i>ABCDEF</i>разделены точками <i>M</i>и <i>N</i>так, что <i>AM</i>:<i>AC</i>=<i>CN</i>:<i>CE</i>=$\lambda$. Найдите $\lambda$, если известно, что точки <i>B</i>,<i>M</i>и <i>N</i>лежат на одной прямой.

Докажите, что если для вписанного четырехугольника <i>ABCD</i>выполнено равенство <i>CD</i>=<i>AD</i>+<i>BC</i>, то точка пересечения биссектрис углов <i>A</i>и <i>B</i>лежит на стороне <i>CD</i>.

Вокруг правильного треугольника <i>APQ</i>описан прямоугольник <i>ABCD</i>, причем точки <i>P</i>и <i>Q</i>лежат на сторонах <i>BC</i>и <i>CD</i>соответственно; <i>P'</i>и <i>Q'</i> — середины сторон <i>AP</i>и <i>AQ</i>. Докажите, что треугольники <i>BQ'C</i>и <i>CP'D</i>правильные.

Прямые <i>AP</i>,<i>BP</i>и <i>CP</i>пересекают описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Точки <i>A</i>₂,<i>B</i>₂и<i>C</i>₂взяты на прямых <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>так, что $\angle$(<i>PA</i>₂,<i>BC</i>) =$\angle$(<i>PB</i>₂,<i>CA</i>) =$\angle$(<i>PC</i>₂,<i>AB</i>). Докажите, что $\triangle$<i>A</i>&...

Внутри четырехугольника <i>ABCD</i>взята точка <i>M</i>так, что <i>ABMD</i> — параллелограмм. Докажите, что если $\angle$<i>CBM</i>=$\angle$<i>CDM</i>, то $\angle$<i>ACD</i>=$\angle$<i>BCM</i>.