Задача
а) Из точки Aпроведены прямые, касающиеся окружности Sв точках Bи C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABCи центр его вневписанной окружности, касающейся стороны BC, лежат на окружности S. б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины Bи Cлюбого треугольника ABCи центр Oего вписанной окружности, высекает на прямых ABи ACравные хорды.
Решение
а) Пусть O — середина дуги окружности S, лежащей внутри треугольника ABC. Тогда $\angle$CBO=$\angle$BCO, а по свойству угла между касательной и хордой $\angle$BCO=$\angle$ABO. Поэтому BO — биссектриса угла ABC, т. е. O — центр вписанной окружности треугольника ABC. Аналогично доказывается, что середина дуги окружности S, лежащей вне треугольника ABC, является центром его вневписанной окружности. б) Требуется доказать, что центр рассматриваемой окружности Sлежит на биссектрисе угла BAC. Пусть D — точка пересечения биссектрисы этого угла с описанной окружностью треугольника ABC. Тогда DB=DO=DC(см. задачу 2.4, а)), т. е. D -- центр окружности S.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь