а) Пусть P — точка Микеля для прямых AB,BC,CAи A₁B₁. Углы между лучами PA,PB,PCи касательными к окружностям S_a,S_b,S_cсоответственно равны$\angle$(PB₁,B₁A) =$\angle$(PC₁,C₁A),$\angle$(PC₁,C₁B) =$\angle$(PA₁,A₁B),$\angle$(PA₁,A₁C) =$\angle$(PB₁,B₁C). А так как $\angle$(PC₁,C₁A) =$\angle$(PC₁,C₁B) =$\angle$(PA₁,A₁C) =$\varphi$, то при повороте на угол $\varphi$с центром Pпрямые PA,PBи PCпереходят в касательные к окружностям S_a,S_bи S_c, а значит, при повороте на угол 90^o-$\varphi$эти прямые переходят в прямые PO_a,PO_bи PO_c. Кроме того, PO_a/PA=PO_b/PB=PO_c/PC= 1/2 sin$\varphi$. Следовательно, при повороте на 90^o-$\varphi$и гомотетии с центром Pи коэффициентом 1/2 sin$\varphi$треугольник ABCпереходит в O_aO_bO_c. б) Рассмотренное в решении задачи а) преобразование переводит центр Oописанной окружности треугольника ABCв центр O'описанной окружности треугольника O_aO_bO_c, а ортоцентр Hтреугольника ABCв ортоцентр H'треугольника O_aO_bO_c. Достроим треугольник OO'H'до параллелограмма OO'H'M. Так как OH/OM=OH/O'H'= 2 sin$\varphi$и $\angle$HOM=$\angle$(HO,O'H') = 90^o-$\varphi$, то MH=MO, т. е. точка Mлежит на серединном перпендикуляре к отрезку OH. Остается заметить, что для вписанного четырехугольника OO_aO_bO_cс точка Mопределена однозначно: взяв вместо точки Oлюбую из точек O_a,O_b,O_c, получим ту же самую точку M(см. задачу 13.33).

Ответ задачи отсутствует