Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Величина угла между двумя хордами»
параграф 2. Величина угла между двумя хордами
НазадВ окружность вписаны треугольники <i>T</i><sub>1</sub>и <i>T</i><sub>2</sub>, причем вершины треугольника <i>T</i><sub>2</sub>являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника <i>T</i><sub>1</sub>. Докажите, что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников <i>T</i><sub>1</sub>и <i>T</i><sub>2</sub>, диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника <i>T</i><sub>1</sub>и пересекаются в одной точке.
На окружности взяты точки <i>A</i>,<i>C</i><sub>1</sub>,<i>B</i>,<i>A</i><sub>1</sub>,<i>C</i>,<i>B</i><sub>1</sub>в указанном порядке. а) Докажите, что если прямые <i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>являются биссектрисами углов треугольника <i>ABC</i>, то они являются высотами треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>. б) Докажите, что если прямые <i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub&...
Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>P</i>так, что $\angle$<i>BPC</i>=$\angle$<i>A</i>+ 60<sup><tt>o</tt></sup>,$\angle$<i>APC</i>=$\angle$<i>B</i>+ 60<sup><tt>o</tt></sup>и $\angle$<i>APB</i>=$\angle$<i>C</i>+ 60<sup><tt>o</tt></sup>. Прямые <i>AP</i>,<i>BP</i>и <i>CP</i>пересекают описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A'</i>,<i>B'</i>и <i>C'</i>. Докажите, что треугольник <i>A'B'C'</i>правильный.
На окружности даны точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>в указанном порядке; <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>1</sub>и <i>D</i><sub>1</sub> — середины дуг <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>соответственно. Докажите, что <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>$\perp$<i>B</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub>.
Диагонали равнобедренной трапеции <i>ABCD</i>с боковой стороной <i>AB</i>пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что центр <i>O</i>ее описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника <i>APB</i>.
По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 60<sup><tt>o</tt></sup>.
На окружности даны точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>в указанном порядке. <i>M</i> — середина дуги <i>AB</i>. Обозначим точки пересечения хорд <i>MC</i>и <i>MD</i>с хордой <i>AB</i>через <i>E</i>и <i>K</i>. Докажите, что <i>KECD</i> — вписанный четырехугольник.