Задача
На сторонах BC,CAи ABтреугольника ABCвзяты точки A1,B1и C1. Докажите, что если треугольники A1B1C1и ABCподобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников AB1C1,A1BC1и A1B1Cпроходят через центр описанной окружности треугольника ABC.
Решение
Как следует из задачи 2.80, б), доказательство достаточно провести лишь для одного такого треугольника A1B1C1, например для треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC. Пусть H — точка пересечения высот треугольника A1B1C1, т. е. центр описанной окружности треугольника ABC. Так как A1H$\perp$B1C1и B1H$\perp$A1C1, то $\angle$(A1H,HB1) =$\angle$(B1C1,A1C1) =$\angle$(A1C,CB1), т. е. точка Hлежит на описанной окружности треугольника A1B1C. Аналогично доказывается, что она лежит на описанных окружностях треугольников A1BC1и AB1C1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь