Задача
а)ABCD- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Через вершины A,B,Cи Dпроведены касательные к описанной окружности. Докажите, что образованный ими четырехугольник вписанный. б) Четырехугольник KLMNвписанный и описанный одновременно; Aи B — точки касания вписанной окружности со сторонами KLи LM. Докажите, что AK . BM=r2, где r — радиус вписанной окружности.
Решение
а) Следует отметить, что так как точки A,B,Cи Dразбивают окружность на дуги, меньшие 180o, то построенный четырехугольник содержит эту окружность. Угол $\varphi$между касательными, проведенными через точки Aи B, равен 180o-$\angle$AOB, а угол $\psi$между касательными, проведенными через точки Cи D, равен 180o-$\angle$COD. Так как $\angle$AOB+$\angle$COD= 180o, то $\varphi$+$\psi$= 180o. Замечание. Обратно, из равенства $\varphi$+$\psi$= 180oследует, что $\angle$AOB+$\angle$COD= 180o, т. е. AC$\perp$BD. б) Пусть O — центр вписанной окружности. Так как $\angle$AKO+$\angle$BMO= 90o, то $\angle$AKO=$\angle$BOMи $\triangle$AKO$\sim$$\triangle$BOM. Следовательно, AK . BM=BO . AO=r2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь