Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Четыре точки, лежащие на одной окружности»
параграф 5. Четыре точки, лежащие на одной окружности
НазадЧерез точку <i>O</i>пересечения биссектрис треугольника <i>ABC</i>проведена прямая <i>MN</i>перпендикулярно <i>CO</i>, причем <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>AC</i>и <i>BC</i>соответственно. Прямые <i>AO</i>и <i>BO</i>пересекают описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A'</i>и <i>B'</i>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>A'N</i>и <i>B'M</i>лежит на описанной окружности.
В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>. Прямая <i>KL</i>параллельна <i>CC</i><sub>1</sub>, причем точки <i>K</i>и <i>L</i>лежат на прямых <i>BC</i>и <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>KL</i>лежит на прямой <i>AC</i>.
Треугольники <i>ABC</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>имеют соответственно параллельные стороны, причем стороны <i>AB</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>лежат на одной прямой. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения описанных окружностей треугольников <i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i>и <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i>, содержит точку <i>C</i><sub>1</sub>.
Диагонали <i>AC</i>и <i>CE</i>правильного шестиугольника <i>ABCDEF</i>разделены точками <i>M</i>и <i>N</i>так, что <i>AM</i>:<i>AC</i>=<i>CN</i>:<i>CE</i>=$\lambda$. Найдите $\lambda$, если известно, что точки <i>B</i>,<i>M</i>и <i>N</i>лежат на одной прямой.
Докажите, что если для вписанного четырехугольника <i>ABCD</i>выполнено равенство <i>CD</i>=<i>AD</i>+<i>BC</i>, то точка пересечения биссектрис углов <i>A</i>и <i>B</i>лежит на стороне <i>CD</i>.
Вокруг правильного треугольника <i>APQ</i>описан прямоугольник <i>ABCD</i>, причем точки <i>P</i>и <i>Q</i>лежат на сторонах <i>BC</i>и <i>CD</i>соответственно; <i>P'</i>и <i>Q'</i> — середины сторон <i>AP</i>и <i>AQ</i>. Докажите, что треугольники <i>BQ'C</i>и <i>CP'D</i>правильные.
Прямые <i>AP</i>,<i>BP</i>и <i>CP</i>пересекают описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>. Точки <i>A</i><sub>2</sub>,<i>B</i><sub>2</sub>и<i>C</i><sub>2</sub>взяты на прямых <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>так, что $\angle$(<i>PA</i><sub>2</sub>,<i>BC</i>) =$\angle$(<i>PB</i><sub>2</sub>,<i>CA</i>) =$\angle$(<i>PC</i><sub>2</sub>,<i>AB</i>). Докажите, что $\triangle$<i>A</i>&...
Внутри четырехугольника <i>ABCD</i>взята точка <i>M</i>так, что <i>ABMD</i> — параллелограмм. Докажите, что если $\angle$<i>CBM</i>=$\angle$<i>CDM</i>, то $\angle$<i>ACD</i>=$\angle$<i>BCM</i>.
Вписанная окружность касается сторон <i>AB</i>и <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Пусть <i>P</i> — точка пересечения прямой <i>MN</i>и биссектрисы угла <i>B</i>(или ее продолжения). Докажите, что: а) $\angle$<i>BPC</i>= 90<sup><tt>o</tt></sup>; б) <i>S</i><sub>ABP</sub>:<i>S</i><sub>ABC</sub>= 1 : 2.
Продолжения сторон <i>AB</i>и <i>CD</i>вписанного четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>, а продолжения сторон <i>BC</i>и <i>AD</i> — в точке <i>Q</i>. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов <i>AQB</i>и <i>BPC</i>со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.
Диагонали трапеции <i>ABCD</i>с основаниями <i>AD</i>и <i>BC</i>пересекаются в точке <i>O</i>; точки <i>B'</i>и <i>C'</i>симметричны вершинам <i>B</i>и <i>C</i>относительно биссектрисы угла <i>BOC</i>. Докажите, что $\angle$<i>C'AC</i>=$\angle$<i>B'DB</i>.
Из произвольной точки <i>M</i>катета <i>BC</i>прямоугольного треугольника <i>ABC</i>на гипотенузу <i>AB</i>опущен перпендикуляр <i>MN</i>. Докажите, что $\angle$<i>MAN</i>=$\angle$<i>MCN</i>.