Олимпиадные задачи из источника «глава 16. Центральная симметрия» - сложность 3 с решениями
Даны непересекающиеся хорды<i>AB</i>и <i>CD</i>окружности и точка <i>J</i>на хорде<i>CD</i>. Постройте на окружности точку <i>X</i>так, чтобы хорды<i>AX</i>и <i>BX</i>высекали на хорде<i>CD</i>отрезок<i>EF</i>, делящийся точкой <i>J</i>пополам.
Даны четыре попарно непараллельные прямые и точка <i>O</i>, не лежащая на этих прямых. Постройте параллелограмм с центром <i>O</i>и вершинами, лежащими на данных прямых, — по одной на каждой.
На отрезке<i>AB</i>дано <i>n</i>пар точек, симметричных относительно его середины;<i>n</i>точек окрашено в синий цвет, остальные — в красный. Докажите, что сумма расстояний от <i>A</i>до синих точек равна сумме расстояний от <i>B</i>до красных точек.
В треугольнике<i>ABC</i>проведены медианы<i>AF</i>и <i>CE</i>. Докажите, что если$\angle$<i>BAF</i>=$\angle$<i>BCE</i>= 30<sup><tt>o</tt></sup>, то треугольник<i>ABC</i>правильный.
Даны две концентрические окружности <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub>. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.
Докажите, что противоположные стороны шестиугольника, образованного сторонами треугольника и касательными к его вписанной окружности, параллельными сторонам, равны между собой.