Задача
а) Докажите, что ограниченная фигура не может иметь более одного центра симметрии. б) Докажите, что никакая фигура не может иметь ровно двух центров симметрии. в) Пусть M — конечное множество точек на плоскости. Точку Oназовем к почти центром симметриик множества M, если из Mможно выбросить одну точку так, что Oбудет центром симметрии оставшегося множества. Сколько к почти центров симметриик может иметь M?
Решение
а) Предположим, что ограниченная фигура имеет два центра симметрии O1и O2. Введем систему координат с осью абсцисс, направленной по лучуO1O2. Так какSO2oSO1=T2$\scriptstyle \overrightarrow{O_1O_2}$, фигура переходит в себя при переносе на вектор2$\overrightarrow{O_1O_2}$. Ограниченная фигура не может обладать этим свойством, так как образ точки с наибольшей абсциссой не принадлежит фигуре. б) ПустьO3=SO2(O1). Легко проверить, чтоSO3=SO2oSO1oSO2. Поэтому если O1и O2 — центры симметрии фигуры, то и O3 — центр симметрии, причемO3$\ne$O1и O3$\ne$O2. в) Покажем, что конечное множество может иметь только 0, 1, 2 или 3 к почти центров симметриик. Соответствующие примеры приведены на рис. Остается доказать, что конечное множество не может иметь больше трех к почти центров симметриик. Почти центров симметрии конечное число, так как они являются серединами отрезков, соединяющих точки множества. Поэтому можно выбрать прямую, проекции почти центров симметрии на которую не сливаются. Следовательно, доказательство достаточно провести для точек, лежащих на одной прямой. Пусть на прямой задано nточек с координатамиx1<x2<...<xn - 1<xn. Если мы выбрасываем точку x1, то центром симметрии оставшегося множества может быть только точка(x2+xn)/2; если выбрасываем xn — то только точка(x1+xn - 1)/2; если же выбрасываем любую другую точку — то только точка(x1+xn)/2. Поэтому почти центров симметрии не больше трех.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь