Олимпиадные задачи из источника «глава 16. Центральная симметрия» - сложность 4 с решениями

Даны<i>m</i>= 2<i>n</i>+ 1 точек — середины сторон<i>m</i>-угольника. Постройте его вершины.

Через общую точку <i>A</i>окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂проведите прямую <i>l</i>так, чтобы разность длин хорд, высекаемых на <i>l</i>окружностями <i>S</i>₁и <i>S</i>₂имела заданную величину <i>a</i>.

а) Докажите, что ограниченная фигура не может иметь более одного центра симметрии. б) Докажите, что никакая фигура не может иметь ровно двух центров симметрии. в) Пусть <i>M</i> — конечное множество точек на плоскости. Точку <i>O</i>назовем к почти центром симметриик множества <i>M</i>, если из <i>M</i>можно выбросить одну точку так, что <i>O</i>будет центром симметрии оставшегося множества. Сколько к почти центров симметриик может иметь <i>M</i>?

Даны выпуклый<i>n</i>-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка <i>O</i>внутри его. Докажите, что через точку <i>O</i>нельзя провести более <i>n</i>прямых, каждая из которых делит площадь<i>n</i>-угольника пополам.