Олимпиадные задачи из источника «глава 16. Центральная симметрия» для 8 класса
Даны<i>m</i>= 2<i>n</i>+ 1 точек — середины сторон<i>m</i>-угольника. Постройте его вершины.
Через общую точку <i>A</i>окружностей <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>проведите прямую <i>l</i>так, чтобы разность длин хорд, высекаемых на <i>l</i>окружностями <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>имела заданную величину <i>a</i>.
а) Докажите, что ограниченная фигура не может иметь более одного центра симметрии. б) Докажите, что никакая фигура не может иметь ровно двух центров симметрии. в) Пусть <i>M</i> — конечное множество точек на плоскости. Точку <i>O</i>назовем к почти центром симметриик множества <i>M</i>, если из <i>M</i>можно выбросить одну точку так, что <i>O</i>будет центром симметрии оставшегося множества. Сколько к почти центров симметриик может иметь <i>M</i>?
Даны выпуклый<i>n</i>-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка <i>O</i>внутри его. Докажите, что через точку <i>O</i>нельзя провести более <i>n</i>прямых, каждая из которых делит площадь<i>n</i>-угольника пополам.
Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Докажите, что первый игрок всегда может выиграть.
Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.
Даны две концентрические окружности <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub>. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.
Пусть<i>P</i>- середина стороны<i>AB</i>выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что если площадь треугольника<i>PDC</i>равна половине площади четырехугольника<i>ABCD</i>, то стороны<i>BC</i>и<i>AD</i>параллельны.
С помощью циркуля и линейки проведите через общую точку <i>A</i> окружностей <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> прямую так, чтобы эти окружности высекали на ней равные хорды.
Докажите, что противоположные стороны шестиугольника, образованного сторонами треугольника и касательными к его вписанной окружности, параллельными сторонам, равны между собой.
Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии,— параллелограмм.