Задача
Из медиан треугольника с углами $\alpha$,$\beta$и $\gamma$составлен треугольник с углами $\alpha_{m}^{}$,$\beta_{m}^{}$и $\gamma_{m}^{}$(угол $\alpha_{m}^{}$лежит против медианы AA1и т. д.) Докажите, что если $\alpha$>$\beta$>$\gamma$, то $\alpha$>$\alpha_{m}^{}$,$\alpha$>$\beta_{m}^{}$,$\gamma_{m}^{}$>$\beta$>$\alpha_{m}^{}$,$\beta_{m}^{}$>$\gamma$и $\gamma_{m}^{}$>$\gamma$.
Решение
Пусть M — точка пересечения медиан AA1,BB1и CC1. Достроив треугольник AMBдо параллелограмма AMBN, получим $\angle$BMC1=$\alpha_{m}^{}$и $\angle$AMC1=$\beta_{m}^{}$. Легко проверить, что $\angle$C1CB<$\gamma$/2 и $\angle$B1BC<$\beta$/2. Следовательно, $\alpha_{m}^{}$=$\angle$C1CB+$\angle$B1BC< ($\beta$+$\gamma$)/2 <$\beta$. Аналогично $\gamma_{m}^{}$=$\angle$A1AB+$\angle$B1BA> ($\alpha$+$\beta$)/2 >$\beta$. Предположим сначала, что треугольник ABCостроугольный. Тогда точка Hпересечения высот лежит внутри треугольника AMC1. Следовательно, $\angle$AMB<$\angle$AHB, т. е. $\pi$-$\gamma_{m}^{}$<$\pi$-$\gamma$, и $\angle$CMB>$\angle$CHB, т. е. $\pi$-$\alpha_{m}^{}$<$\pi$-$\alpha$. Предположим теперь, что угол $\alpha$тупой. Тогда угол CC1Bтоже тупой, а значит, угол $\alpha_{m}^{}$острый, т. е. $\alpha_{m}^{}$<$\alpha$. Опустим из точки Mперпендикуляр MXна BC. Тогда $\gamma_{m}^{}$>$\angle$XMB> 180o-$\angle$HAB>$\gamma$. Так как $\alpha$>$\alpha_{m}^{}$, то $\alpha$+ ($\pi$-$\alpha_{m}^{}$) >$\pi$, т. е. точка Mлежит внутри описанной окружности треугольника AB1C1. Следовательно, $\gamma$=$\angle$AB1C1<$\angle$AMC1=$\beta_{m}^{}$. Аналогично $\alpha$=$\angle$CB1A1>$\angle$CMA1=$\beta_{m}^{}$, так как $\gamma$+ ($\pi$-$\gamma_{m}^{}$) <$\pi$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь