Задача
На сторонах BC,CAи ABтреугольника ABCвзяты произвольные точки A1,B1и C1. Пусть a=SAB1C1,b=SA1BC1,c=SA1B1Cи u=SA1B1C1. Докажите, что
u3 + (a + b + c)u2 $\displaystyle \geq$ 4abc.
Решение
Можно считать, что площадь треугольника ABCравна 1. Тогда a+b+c= 1 -u, поэтому данное неравенство перепишется в виде u2$\geq$4abc. Пусть x=BA1/BC,y=CB1/CAи z=AC1/AB. Тогда u= 1 - (x+y+z) +xy+yz+zxи abc=xyz(1 -x)(1 -y)(1 -z) =v(u-v), где v=xyz. Поэтому мы переходим к неравенству u2$\geq$4v(u-v), т. е. (u- 2v)2$\geq$0. Последнее неравенство очевидно.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет