Задача
Докажите, что a2+b2+c2- (a-b)2- (b-c)2- (c-a)2$\geq$4$\sqrt{3}$S.
Решение
Пусть x=p-a,y=p-b,z=p-c. Тогда (a2- (b-c)2) + (b2- (a-c)2) + (c2- (a-b)2) = 4(p-b)(p-c) + 4(p-a)(p-c) + 4(p-a)(p-b) = 4(yz+zx+xy) и
4$\displaystyle \sqrt{3}$S = 4$\displaystyle \sqrt{3p(p-a)(p-b)(p-c)}$ = 4$\displaystyle \sqrt{3(x+y+z)xyz}$.
Итак, нужно доказать неравенство xy+yz+zx$\geq$$\sqrt{3(x+y+z)xyz}$. После возведения в квадрат и сокращения получаем
x2y2 + y2z2 + z2x2 $\displaystyle \geq$ x2yz + y2xz + z2xy.
Складывая неравенства x2yz$\leq$x2(y2+z2)/2,y2xz$\leq$y2(x2+z2)/2 и z2xy$\leq$z2(x2+y2)/2, получаем
требуемое.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет