Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 7-11 класса - сложность 4 с решениями
Задача Паппа. III в. н.э.}На отрезке<i> AB </i>взята точка<i> C </i>и на отрезках<i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> CA </i>как на диаметрах построены соответственно полуокружности<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>по одну сторону от<i> AC </i>. В криволинейный треугольник, образованный этими полуокружностями, вписана окружность<i> δ</i>1, в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями<i> α </i>,<i> β </i>и окружностью<i> δ</i>1, вписана окружность<i> δ</i>2и т.д. (окружность<i> δ<sub>n</sub> </i>вписана в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями<i> α </i>,<i>...
Докажите, что точки пересечения смежных триссектрис улов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.
Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные360<i><sup>o </sup> </i>, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна360<i><sup>o</sup> </i>.
Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
Докажите, что окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, касается его вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).
Дан равнобедренный треугольник<i> ABC </i>(<i> AB=BC </i>). Выбрана точка<i> X </i>на стороне<i> AC </i>. Окружность проходит через точку<i> X </i>, касается стороны<i> AC </i>и пересекает описанную окружность треугольника<i> ABC </i>в таких точках<i> M </i>и<i> N </i>, что прямая<i> MN </i>делит отрезок<i> BX </i>пополам и пересекает стороны<i> AB </i>и<i> BC </i>в точках<i> P </i>и<i> Q </i>. Докажите, что описанная окружность треугольника<i> BPQ </i>проходит через центр описанной окружности треугольника<i> ABC </i>.
На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены правильные треугольники.
Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>.
Найдите объём общей части двух прямых круговых цилиндров радиуса<i> a </i>, пересекающихся под прямым углом (т.е. их оси пересекаются под прямым углом).
Дана сфера радиуса 2 с центром в точке<i> O </i>. Из точки<i> K </i>, лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках<i> L</i>1И<i> M</i>1, второй – в точках<i> L</i>2и<i> M</i>2, третий – в точках<i> L</i>3и<i> M</i>3, четвёртый – в точках<i> L</i>4и<i> M</i>4. Прямые<i> L</i>1<i>L</i>2и<i> M</i>1<i>M</i>2пересекаются в точке<i> A </i>, прямые<i> L</i>3<i>L</i>4и<i> M</i>3<i>M</i>4– в точке<i> B </i>. Найдите объём пирамиды<i> KOAB </i>, если<i> KO=</i>3,<i> AO=BO=...
Дана сфера радиуса 1 с центром в точке<i> O </i>. Из точки<i> A </i>, лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках<i> B</i>1и<i> C</i>1, второй – в точках<i> B</i>2и<i> C</i>2, третий – в точках<i> B</i>3и<i> C</i>3, четвёртый – в точках<i> B</i>4и<i> C</i>4. Прямые<i> B</i>1<i>B</i>2и<i> C</i>1<i>C</i>2пересекаются в точке<i> E </i>, прямые<i> B</i>3<i>B</i>4и<i> C</i>3<i>C</i>4– в точке<i> F </i>. Найдите объём пирамиды<i> OAEF </i>, если<i> AO=</i>2,<i> EO=FO=...
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Хорды MN первой окружности и KL второй окружности имеют общую точку O. Длина отрезка PQ в пять раза больше длины отрезка OL. Длина отрезка OK в два раза больше длины отрезка MO, которая, в свою очередь, в два раза больше длины отрезка OL. Какие значения может принимать длина отрезка PO, если известно, что QO = 4, а длины отрезков MO и ON равны?
Вершины прямоугольника лежат на боковой поверхности конуса. Докажите, что две параллельные стороны прямоугольника перпендикулярны оси конуса.
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> стороны <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> равны, <i>M</i> – середина стороны <i>AD</i>. Известно, что ∠<i>BMC</i> = 90°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника <i>ABCD</i>.
Стороны треугольника <i>ABC</i> видны из точки <i>T</i> под углами 120°. Докажите, что прямые, симметричные прямым <i>AT, BT</i> и <i>CT</i> относительно прямых <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно, пересекаются в одной точке.
В выпуклом четырёхугольнике<i> ABCD </i>точки<i> P </i>и<i> Q </i>– середины диагоналей<i> AC </i>и<i> BD </i>соответственно. Прямая<i> PQ </i>пересекает стороны<i> AB </i>и<i> CD </i>в точках<i> N </i>и<i> M </i>соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников<i> ANP </i>,<i> BNQ </i>,<i> CMP </i>и<i> DMQ </i>пересекаются в одной точке.
Пусть<i> B' </i>— точка описанной окружности остроугольного треугольника<i> ABC </i>, диаметрально противоположная вершине<i> B </i>;<i> I </i>— центр вписанной окружности треугольника<i> ABC </i>;<i> M </i>— точка касания вписанной окружности со стороной<i> AC </i>. На сторонах<i> AB </i>и<i> BC </i>выбраны соответственно точки<i> K </i>и<i> L </i>, причём<i> KB=MC </i>и<i> LB=AM </i>. Докажите, что прямые<i> B'I </i>и<i> KL </i>перпендикулярны.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> провели биссектрисы <i>l<sub>a</sub>, l<sub>b</sub>, l<sub>c</sub></i> и <i>l<sub>d</sub></i> внешних углов при вершинах <i>A, B, C</i> и <i>D</i> соответственно. Точки пересечения прямых <i>l<sub>a</sub></i> и <i>l<sub>b</sub>, l<sub>b</sub></i> и <i>l<sub>c</sub>, l<sub>c</sub></i> и <i>l<sub>d</sub>, l<sub>d</sub></i> и <i>l<sub>a</sub></i> обозначили через <i>K, L, M</i> и <i>N</i>. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки <i>K</i> на <i...
На стороне<i> AB </i>треугольника<i> ABC </i>выбрана точка<i> D </i>. Окружность, описанная около треугольника<i> BCD </i>, пересекает сторону<i> AC </i>в точке<i> M </i>, а окружность, описанная около треугольника<i> ACD </i>, пересекает сторону<i> BC </i>в точке<i> N </i>(точки<i> M </i>и<i> N </i>отличны от точки<i> C </i>). Пусть<i> O </i>– центр описанной окружности треугольника<i> CMN </i>. Докажите, что прямая<i> OD </i>перпендикулярна стороне<i> AB </i>.
Окружности <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> пересекаются в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Через точку <i>A</i> окружности <i>S</i><sub>1</sub> проведены прямые <i>AM</i> и <i>AN</i>, пересекающие окружность <i>S</i><sub>2</sub> в точках <i>B</i> и <i>C</i>, а через точку <i>D</i> окружности <i>S</i><sub>2</sub> – прямые <i>DM</i> и <i>DN</i>, пересекающие <i>S</i><sub>1</sub> в точках <i>E</i> и <i>F</i>, причём точки <i>A, E, F</i> лежат по одну сторону от прямой <i>MN</i>,...
Дан треугольник<i> A</i>0<i>B</i>0<i>C</i>0. На отрезке<i> A</i>0<i>B</i>0отмечены точки<i> A</i>1,<i> A</i>2<i>, ,A<sub>n</sub> </i>, а на отрезке<i> B</i>0<i>C</i>0– точки<i> C</i>1,<i> C</i>2<i>, , C<sub>n</sub> </i>, причём все отрезки<i> A<sub>i</sub>C<sub>i+</sub></i>1(<i> i=</i>0<i>,</i>1<i>, n-</i>1), параллельны между собой и все отрезки<i> C<sub>i</sub>A<sub>i+</sub></i>1(<i> i=</i>0<i>,</i>1<i>, n-</i>1) – тоже. Отрезки<i> C</i>0<i>A</i>...
Дан правильный треугольник<i> ABC </i>. Через вершину<i> B </i>проводится произвольная прямая<i> l </i>, а через точки<i> A </i>и<i> C </i>проводятся прямые, перпендикулярные прямой<i> l </i>, пересекающие её в точках<i> D </i>и<i> E </i>. Затем, если точки<i> D </i>и<i> E </i>различны, строятся правильные треугольники<i> DEP </i>и<i> DET </i>, лежащие по разные стороны от прямой<i> l </i>. Найдите геометрическое место точек<i> P </i>и<i> T </i>.
Пусть <i>A', B'</i> и <i>C'</i> – точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника <i>ABC</i>. Описанные окружности треугольников <i>A'B'C, AB'C'</i> и <i>A'BC'</i> пересекают второй раз описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub> соответственно. Докажите, что треугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника с его сто...
В остроугольном треугольнике проведены высоты <i>AA'</i> и <i>BB'</i>. На дуге <i>ACB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>D</i>. Пусть прямые <i>AA'</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>BB'</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямая <i>A'B'</i> проходит через середину отрезка <i>PQ</i>.
Пусть<i> AD </i>– биссектриса треугольника<i> ABC </i>и прямая<i> l </i>касается окружностей, описанных около треугольников<i> ADB </i>и<i> ADC </i>, в точках<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков<i> BD </i>,<i> DC </i>и<i> MN </i>касается прямой<i> l </i>.
В параллелограмме<i> ABCD </i>на диагонали<i> AC </i>отмечена точка<i> K </i>. Окружность<i> s</i>1проходит через точку<i> K </i>и касается прямых<i> AB </i>и<i> AD </i>, причём вторая точка пересечения<i> s</i>1с диагональю<i> AC </i>лежит на отрезке<i> AK </i>. Окружность<i> s</i>2проходит через точку<i> K </i>и касается прямых<i> CB </i>и<i> CD </i>, причём вторая точка пересечения<i> s</i>2с диагональю<i> AC </i>лежит на отрезке<i> KC </i>. Докажите, что при всех положениях точки<i> K </i>на диагонали<i> AC </i>прямые, соединяющие центры окружностей<i> s&...