Задание олимпиады: объём пирамиды OAEF, пересечения лучей со сферой

Олимпиадная задача по стереометрии о пирамиде OAEF и пересечении лучей со сферой

Задача

Дана сфера радиуса 1 с центром в точке O . Из точки A , лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках B1и C1, второй – в точках B2и C2, третий – в точках B3и C3, четвёртый – в точках B4и C4. Прямые B1B2и C1C2пересекаются в точке E , прямые B3B4и C3C4– в точке F . Найдите объём пирамиды OAEF , если AO=2, EO=FO=3, а угол между гранями AOE и AOF равен30^o .

Решение

Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через пересекающиеся прямые B1C1и B2C2(рис.2). Получим вписанный четырёхугольник B1B2C2C1. Опишем окружности около треугольников AB1B2и EC2B2. Пусть M – вторая точка пересечения этих окружностей. Докажем, что точка M лежит на отрезке AE .

Обозначим, EMB2= α . Суммы противоположных углов вписанного четырёхугольника равны180^o , поэтому

C1C2B2 = 180^o- EC2B2 = α,

AB1B2 = 180^o- C1B1B2 = α,

AMB2 = 180^o- AB1B2 = 180^o-α.

Значит, EMB2+ AMB2 = 180^o . Следовательно, точка M лежит на отрезке AE . При этом AE· AM=AC2· AB2, т.к. если из точки, расположенной вне окружности, проведены к этой окружности секущие, то произведение всей секущей на её внешнюю часть постоянно.

Пусть R – радиус сферы. Рассмотрим также сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O и прямую B2C2. Пусть луч AO пересекает сферу в точках P и Q (рис.3). Тогда

AE· AM = AC2· AB2 = AQ· AP = (AO+R)(AO-R) = AO2-R2 = 4-1=3.

Аналогично,

AE· EM = EB2· EB1 = (EO+R)(EO-R) = EO2-R2 = 8.

Тогда

AE2 = AE(AM+EM) = AE· AM+ AE· EM = 3+8 = 11.

Аналогично получим, что AF2=11. По формуле Герона

S_{Δ AOE}=S_{Δ AOF} = =

= = .

Если S1и S2– площади граней тетраэдра, ϕ – угол между этими гранями, а a – их общее ребро, то объём V тетраэдра можно вычислить по формуле V=· (рис.4). Следовательно,