Олимпиадная задача по математике: прямоугольник на боковой поверхности конуса, 10-11 класс

Пусть ABCD – прямоугольник, вершины которого лежат на боковой поверхности конуса с вершиной S (рис.1). Тогда

SA2+SC2=SB2+SD2.

Докажем, что

SA+SC=SB+SD.

Действительно, пусть плоскость, проведённая через центр O прямоугольника перпендикулярно оси конуса, пересекает лучи SA , SC , SB и SD в точках A' , C' , B' и D' соответственно (для определённости будем считать, что точка C' лежит на отрезке SC ). Треугольники SA'C' и SB'D' – равнобедренные, т.к. SA' , SC' , SB' и SD' – образующие конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Через точку C проведём прямую, параллельную стороне SA (рис.2). Обозначим через C'' точку пересечения этой прямой с продолжением основания A'C' . Так как треугольники OCC'' и OAA' равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а треугольник CC'C'' – также равнобедренный, то CC'=CC''= AA' . Значит,

SA+SC = (SA'-AA')+(SC'+CC') = SA'+SC'.

Аналогично, SB+SD = SB'+SD' , а т.к. SB'+SD'=SA'+SC' , то утверждение доказано.

Вернёмся к нашей задаче. Из равенств SA2+SC2=SB2+SD2и SA+SC=SB+SD следует, что либо SA=SB и SC=SD , либо SA=SD и SC=SB . В первом случае оси конуса перпендикулярна сторона AB , а во втором – сторона AD .

(Решение предложено Ильёй Осиповым).

Ответ задачи отсутствует