Олимпиадная задача по стереометрии: объём пересечения двух цилиндров (10–11 класс)

Проекция пересечения P цилиндров на плоскость, перпендикулярную оси одного из цилиндров, есть круг радиуса a . Половина тела P изображена на рис.1. При этом ABCD – квадрат со стороной2a . Если "вкатить" шар S радиуса a в каждый из цилиндров, то он будет вписан в тело P . Сечение этого тела плоскостью, параллельной ABCD , есть квадрат, а сечение этой же плоскостью шара S – круг, вписанный в этот квадрат.

Если сторона квадрата равна b , то радиус вписанного в него круга равен (рис.2), поэтому отношение площадей квадрата и круга равно = .

Из принципа Кавальери следует, что объём V тела P в раз больше объёма шара S , т.е.

a3.