Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» для 3-8 класса - сложность 2 с решениями

В четырёхугольнике<i> ABCD </i>найдите такую точку<i> E </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> EAB </i>и<i> ECD </i>было равно 1:2, а треугольников<i> EAD </i>и<i> EBC </i>— 3:4, если известны координаты всех его вершин:<i> A</i>(<i>-</i>2<i>;-</i>4),<i> B</i>(<i>-</i>2<i>;</i>3),<i> C</i>(4<i>;</i>6),<i> D</i>(4<i>;-</i>1).

В четырёхугольнике<i> PQRS </i>найдите такую точку<i> T </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> RQT </i>и<i> PST </i>было равно 2:1, а треугольников<i> SRT </i>и<i> PQT </i>— 1:5, если известны координаты всех его вершин:<i> P</i>(6<i>;-</i>2),<i> Q</i>(3<i>;</i>4),<i> R</i>(<i>-</i>3<i>;</i>4),<i> S</i>(0<i>;-</i>2).

Через начало координат проведены прямые (включая оси координат), которые делят координатную плоскость на углы в 1°.

Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих прямых с прямой  <i>y</i> = 100 – <i>x</i>.

Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.

В окружность вписаны три правильных многоугольника, число сторон каждого последующего вдвое больше, чем у предыдущего. Площади первых двух равны <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂. Найдите площадь третьего.

Два правильных многоугольника с периметрами <i>a</i> и <i>b</i> описаны около окружности, а третий правильный многоугольник вписан в эту окружность. Второй и третий многоугольники имеют вдвое больше сторон, чем первый. Найдите периметр третьего многоугольника.

Вася постоял некоторое время на остановке. За это время проехал один автобус и два трамвая. Через некоторое время на эту же остановку пришёл Шпион. Пока он там сидел, проехало 10 автобусов. Какое минимальное число трамваев могло проехать за это время? И автобусы, и трамваи ходят с равными интервалами, причём автобусы ходят с интервалом 1 час.

На плоскости даны точки<i> A</i>(<i>-</i>1<i>;</i>2),<i> B</i>(<i>-</i>2<i>;</i>1),<i> C</i>(<i>-</i>3<i>;-</i>3),<i> D</i>(0<i>;</i>0). Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>. В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ<i> AC </i>?

На плоскости даны точки<i> A</i>(1<i>;</i>2),<i> B</i>(2<i>;</i>1),<i> C</i>(3<i>;-</i>3),<i> D</i>(0<i>;</i>0). Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>. В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ<i> AC </i>?

На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

Найдите угол между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра.

Две плоскости заданы уравнениями<i> A</i>1<i>x+B</i>1<i>y+C</i>1<i>z+D</i>1<i>=</i>0и<i> A</i>2<i>x+B</i>2<i>y+C</i>2<i>z+D</i>2<i>=</i>0. Пусть<i> α </i>– величина нетупого угла, образованного плоскостями. Докажите, что <center><i>

cos α =<img src="/storage/problem-media/108870/problem_108870_img_2.gif">.

</i></center>

Плоскость задана уравнением<i> Ax+By+Cz+D=</i>0, причём числа<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>и<i> D </i>отличны от нуля. Докажите, что тогда уравнение плоскости можно записать в виде<i> <img src="/storage/problem-media/108869/problem_108869_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/108869/problem_108869_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/108869/problem_108869_img_4.gif">=</i>1, где<i> P</i>(0<i>;</i>0<i>;p</i>),<i> Q</i>(0<i>;q;</i>0)и<i> R</i>(0<i>;</i>0<i>;r</i>)– точки пересечения плоскости с координатными осями.

Прямая<i> l </i>проходит через точку<i> M</i>0(<i>x</i>0<i>;y_o;z</i>0)параллельно ненулевому вектору<i> <img src="/storage/problem-media/108867/problem_108867_img_2.gif"> = </i>(<i>a;b;c</i>). Найдите необходимое и достаточное условие того, что точка<i> M</i>(<i>x;y;z</i>)лежит на прямой<i> l </i>.

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку<i> M</i>0(<i>x</i>0<i>;y</i>0<i>;z</i>0)перпендикулярно ненулевому вектору<i> <img src="/storage/problem-media/108866/problem_108866_img_2.gif"> = </i>(<i>a;b;c</i>).

Точка <i>M</i> лежит на прямой <!-- MATH $3x - 4y + 34 = 0$ --> 3<i>x</i> - 4<i>y</i> + 34 = 0, а точка <i>N</i> — на окружности <!-- MATH $x^{2} + y^{2} - 8x + 2y - 8 = 0$ --> <i>x</i>² + <i>y</i>² - 8<i>x</i> + 2<i>y</i> - 8 = 0. Найдите наименьшее расстояние между точками <i>M</i> и <i>N</i>.

Составьте уравнение окружности с центром в точке <i>M</i>(3;2), касающейся прямой <!-- MATH $y = 2x + 6$ --> <i>y</i> = 2<i>x</i> + 6.

Найдите расстояние между параллельными прямыми <!-- MATH $y = -3x + 5$ --> <i>y</i> = - 3<i>x</i> + 5 и <!-- MATH $y = -3x - 4$ --> <i>y</i> = - 3<i>x</i> - 4.

Даны точки <i>A</i>, <i>B</i> и положительное число <i>d</i>. Найдите геометрическое место точек <i>M</i>, для которых <!-- MATH $AM^{2} + BM^{2} = d$ --> <i>AM</i>² + <i>BM</i>² = <i>d</i>.

Даны точки <i>A</i>(5; - 1), <i>B</i>(4; - 8), <i>C</i>(- 4; - 4). Найдите координаты точки пересечения высот треугольника <i>ABC</i>.

Даны точки <i>A</i>(6;1), <i>B</i>(- 5; - 4), <i>C</i>(- 2;5). Составьте уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника <i>ABC</i>, проведённая из вершины <i>A</i>.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку <i>M</i>(- 1;4) перпендикулярно прямой <!-- MATH $x - 2y + 4 = 0$ --> <i>x</i> - 2<i>y</i> + 4 = 0.

Даны точки <i>A</i>(- 2;3), <i>B</i>(2;6), <i>C</i>(6; - 1) и <i>D</i>(- 3; - 4). Докажите, что диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> перпендикулярны.

Докажите, что прямые, заданные уравнениями <!-- MATH $y = k_{1}x + l_{1}$ --> <i>y</i> = <i>k</i>₁<i>x</i> + <i>l</i>₁ и <!-- MATH $y = k_{2}x + l_{2}$ --> <i>y</i> = <i>k</i>₂<i>x</i> + <i>l</i>₂ и не параллельные координатным осям, перпендикулярны тогда и только тогда, когда <!-- MATH $k_{1}k_{2}= -1$ --> <i>k</i>₁<i>k</i>₂ = - 1.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку <i>A</i>(0;7) и касающейся окружности <!-- MATH $(x -15)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ --> (<i>x</i> - 15)² + (<i>y</i> - 2)² = 25.