Олимпиадная задача по планиметрии: расстояние между параллельными прямыми в 8 и 9 классе
Задача
Найдите расстояние между параллельными прямыми y = - 3x + 5 и y = - 3x - 4.
Решение
Первый способ.
Поскольку координаты точки A(0;5) удовлетворяют уравнению
y = - 3x + 5,
эта точка лежит на первой прямой, а т.к. прямые параллельны, то расстояние между
ними равно расстоянию то точки A до второй прямой. Запишем уравнение
этой прямой в общем виде (y + 3x + 4 = 0) и воспользуемся формулой для расстояния
между точкой и прямой:
d = $\displaystyle {\frac{\vert 5+3\cdot 0 +4\vert}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}}$ = $\displaystyle {\frac{9}{\sqrt{10}}}$.
Второй способ.
Пусть первая прямая пересекает ось OY в точке A(0;5), а вторая — в точке B(0; - 4).
Тогда
AB = 5 - (- 4) = 9. Если $\alpha$ — острый угол, между каждой из этих прямых и осью
OX, то
tg$\alpha$ = 3. Тогда
cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{1+{\rm tg }^{2} \alpha}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$.
Пусть C — проекция точки B на прямую
y = - 3x + 5. Тогда
$\angle$ABC = $\alpha$, а
искомое расстояние между прямыми равно длине отрезка BC.
Из прямоугольного треугольника ABC находим, что
BC = AB cos$\displaystyle \alpha$ = 9 . $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{10}}}$ = $\displaystyle {\frac{9}{\sqrt{10}}}$.
Ответ
${\frac{9}{\sqrt{10}}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет