Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: геометрическое место по условию AM² + BM² = d

Задача 208557 • Сложность: 2 • 8-9 класс
Задача

Даны точки A, B и положительное число d. Найдите геометрическое место точек M, для которых AM2 + BM2 = d.

Разделы:
Планиметрия Геометрические методы
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
5
Решение

Пусть AB = b. Выберем систему координат XOY так, чтобы точка A была её началом, а точка B лежала на положительной полуоси OX. Тогда коррдинаты точек A и B — (0;0) и (b;0). Точка M(x;y) принадлежит искомому геометрическому месту тогда и только тогда, когда

AM2 + BM2 = d  $\displaystyle \Leftrightarrow$  x2 + y2 + (x - b)2 + y2 = d  $\displaystyle \Leftrightarrow$
$\displaystyle \Leftrightarrow$  2x2 - 2bx + 2y2 + b2 = d  $\displaystyle \Leftrightarrow$  x2 - bx + y2 = $\displaystyle {\frac{d-b^{2}}{2}}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$
$\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left(\vphantom{x-\frac{b}{2}}\right.$x - $\displaystyle {\frac{b}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x-\frac{b}{2}}\right)^{2}_{}$ + y2 = $\displaystyle {\frac{d-b^{2}}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{b^{2}}{4}}$  $\displaystyle \Leftrightarrow$  $\displaystyle \left(\vphantom{x-\frac{b}{2}}\right.$x - $\displaystyle {\frac{b}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x-\frac{b}{2}}\right)^{2}_{}$ + y2 = $\displaystyle {\frac{2d-b^{2}}{4}}$.
Если d > ${\frac{b^{2}}{2}}$, то искомое геометрическое место есть окружность радиуса ${\frac{1}{2}}$$\sqrt{2d-b^{2}}$ с центром в середине отрезка AB. Если d = ${\frac{b^{2}}{2}}$, то получится единственная точка — середина отрезка AB. Если же d < ${\frac{b^{2}}{2}}$, — то таких точек нет.
Ответ

Если d > ${\frac{AB^{2}}{2}}$, то искомое ГМТ — окружность с центром в середине отрезка AB.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет