Олимпиадная задача по стереометрии: угол между скрещивающимися медианами в тетраэдре

Найдём угол α между мединами DM и AK граней соответственно ADB и ABC правильного тетраэдра ABCD (рис.1). Для этого через центр Q грани ABC проведём прямую, параллельную DM . Пусть эта прямая пересекает ребро СD в точке S . Тогда искомый угол равен углу между пересекающимися прямыми QS и AK . Пусть ребро тетраэдра равно a . Из подобия треугольников QSC и MDC находим, что

QS = MD· = · = .

Кроме того, CS= CD =a . Из треугольника CKS по теореме косинусов находим, что

SK2 = CK2+CS2-2CK· CS cos 60^o = +a2-2· · a· = a2.

Значит,

cos α = | cos KQS| = || = || =.

Пусть E – середина ребра AD (рис.2). Найдём угол β между прямыми BE и AK . Для этого через точку Q проведём прямую, параллельную BE . Эта прямая пересекает ребро среднюю линию ER треугольника ADC в точке T . Тогда искомый угол равен углу между пересекающимися прямыми QT и AK .

Из подобия треугольников QTR и BER находим, что

QT = BE· = · = .

Кроме того, если точка J делит ребро CD в отношении = , то AT= AJ . Из треугольника ACJ по теореме косинусов находим, что

AJ2 = AC2+CJ2-2AC· CJ cos 60^o = a2+a2-2a· a· = a2.

Поэтому AT2= AJ2 = a2. Тогда из треугольника AQT по теореме косинусов находим, что

cos β = | cos AQT| = || = || =.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A (рис.3). Ось x направим по лучу AK . Пусть P – проекция точки M на прямую, проходящую через вершину A параллелльно BC . Тогда ось y направим по лучу AP . Через точку A проведём прямую, параллельную высоте DQ тетраэдра. Пусть L – проекция точки D на эту прямую. Тогда ось z направим по лучу AL .

Тогда интересующие нас точки имеют следующие координаты:

A(0;0;0), K(;0;0), D(;0;a), M(;;0),

B(;;0), E(;0;a).

Значит,

= (;0;0), = (-;;-a)= (;;-a),

= (-;-;a)= (;-;a).

Следовательно,

cos α = ||= ||=,

cos β = ||= ||=.

arccos , arccos .