Олимпиадные задачи по теме «Корни. Степень с рациональным показателем» для 11 класса - сложность 3 с решениями
Корни. Степень с рациональным показателем
НазадЦелые числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что сумма <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116373/problem_116373_img_2.gif"> целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?
Каких точных квадратов, не превосходящих 10<sup>20</sup>, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?
Положительные числа <i>x, y, z</i> таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.
Докажите, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_2.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_3.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_4.gif"> > <i>x + y + z</i>.
Докажите, что если <center><i> <img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_4.gif">=<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_5.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_6.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_7.gif">=
<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_8.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_9.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_10.gif">
<...
Дана функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=<img src="/storage/problem-media/109863/problem_109863_img_2.gif"> </i>. Найдите<i>f</i>(<i>.. f</i>(<i>f</i>(19))<i>..</i>)<i></i>95<i> раз</i>.
Существуют ли такие попарно различные натуральные числа <i>m, n, p, q</i>, что <i>m + n = p + q</i> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109812/problem_109812_img_2.gif">
Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i> > 10000 найдётся такое натуральное число <i>m</i>, представимое в виде суммы двух квадратов, что
0 < <i>m – n</i> < 3 <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109761/problem_109761_img_2.gif"> .
Докажите, что если(<i>x+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_2.gif"></i>)(<i>y+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_3.gif"></i>)<i>=</i>1, то<i> x+y=</i>0.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> > 2 число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109530/problem_109530_img_2.gif"> делится на 8.
Доказать, что для любого целого <i>n</i> число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_2.gif"> можно представить в виде разности <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_3.gif"> где <i>k</i> – целое.
Решить систему уравнений <img align="middle" src="/storage/problem-media/108989/problem_108989_img_2.gif">
Дано число <i>A</i> = <img width="16" height="44" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79260/problem_79260_img_2.gif"><img width="77" height="41" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79260/problem_79260_img_3.gif"><img width="23" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79260/problem_79260_img_4.gif">, где <i>M</i> – натуральное число большее 2.
Доказать, что найдётся такое натуральное <i>k</i>, что <i>A</i> = <img width="93" height="58" align="MIDDLE" border="0" src=&quo...
Решить уравнение <img width="98" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/76453/problem_76453_img_2.gif"> = <i>x</i>.
Пусть <i>a</i> – заданное вещественное число, <i>n</i> – натуральное число, <i>n</i> > 1.
Найдите все такие <i>x</i>, что сумма корней <i>n</i>-й степени из чисел <i>x<sup>n</sup> – a<sup>n</sup></i> и 2<i>a<sup>n</sup> – x<sup>n</sup></i> равна числу <i>a</i>.
Если<nobr><i>x</i><sub>1</sub> < <i>x</i><sub>2</sub> < <i>x</i><sub>3</sub> < ... < <i>x</i><sub><i>n</i></sub> —</nobr>натуральные числа, то сумма<nobr><i>n</i> – 1</nobr>дробей,<nobr><i>k</i>-я из</nobr>которых, где<nobr><i>k</i> < <i>n</i>,</nobr>равна отношению квадратного корня из разности<nobr><i>x</i><sub><i>k</i>+1</sub> - <i>x</i><sub><i>k</i></sub></nobr>к числу<i>x</i><sub><i>k</i>+1</sub>, меньше суммы чисел 1,<sup>1</sup>/<sub&g...
Вася выбрал $100$ различных натуральных чисел из множества ${1, 2, 3, \ldots, 120}$ и расставил их в некотором порядке вместо звёздочек в выражении (всего $100$ звёздочек и $50$ знаков корня) $$ \sqrt{(* + )\cdot \sqrt{( + ) \cdot \sqrt{ \ldots \sqrt{+*}}}} . $$ Могло ли значение полученного выражения оказаться целым числом?
Докажите, что для любых различных натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо неравенство $|\sqrt[n]{m}-\sqrt[m]{n}|>\frac{1}{mn}$.
Положительные числа <i>a, b, c</i> удовлетворяют соотношению <i>ab + bc + ca</i> = 1. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65122/problem_65122_img_2.gif">
Пусть(1 +$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$)<sup>n</sup>=<i>p</i><sub>n</sub>+<i>q</i><sub>n</sub>$\sqrt{2}$+<i>r</i><sub>n</sub>$\sqrt{3}$+<i>s</i><sub>n</sub>$\sqrt{6}$(<i>n</i>$\geqslant$0). Найдите: а) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{q_n}}$; б) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{r_n}}$; в) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{s_n}}$.
Рассмотрим равенства:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">2 + $\displaystyle \sqrt{3}$</td> <td align="CENTER">=</td> <td align="LEFT">$\displaystyle \sqrt{4}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$,</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$)<sup>2</sup></td> <td align="CENTER">=</td> <td align="LEFT">$\displaystyle \sqrt{49}$ + $\displaystyle \sqrt{48}$,</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$)<sup>3</sup></td> <td align="CENTER"...
При возведении числа 1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61463/problem_61463_img_2.gif"> в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
(1 + <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61463/problem_61463_img_2.gif">)<sup>1</sup> = 1 + <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61463/problem_61463_img_2.gif"> = <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61463/problem_61463_img_2.g...
Решите уравнение:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1+2x\sqrt{1-x^2}}{2}}$ + 2<i>x</i><sup>2</sup> = 1. </div>
Решите уравнение<div align="CENTER"> | 2<i>x</i> - $\displaystyle \sqrt{1-4x^2}$| = $\displaystyle \sqrt{2}$(8<i>x</i><sup>2</sup> - 1). </div>
Решите уравнения <table> <tr><td align="LEFT">а) $\sqrt{1-x^2}$ = 4<i>x</i><sup>3</sup> - 3<i>x</i>; </td> <td align="LEFT"> в) $\sqrt{1-x}$ = 2<i>x</i><sup>2</sup> - 1 + 2<i>x</i>$\sqrt{1-x^2}$;</td> </tr> </table> <table> <tr><td align="LEFT">б) <i>x</i> + ${\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}}$ = ${\dfrac{35}{12}}$; </td> <td align="LEFT">г) $\sqrt{\dfrac{1-\vert x\vert}2}$ = 2<i>x</i><sup>2</sup> - 1.</td> </tr> </table>
Решите уравнения при0<sup><tt>o</tt></sup><<i>x</i>< 90<sup><tt>o</tt></sup>: a) $\sqrt{13-12\cos x}$+$\sqrt{7-4\sqrt3\sin x}$= 2$\sqrt{3}$;б) $\sqrt{2-2\cos x}$+$\sqrt{10-6\cos x}$=$\sqrt{10-6\cos 2x}$;в) $\sqrt{5-4\cos x}$+$\sqrt{13-12\sin x}$=$\sqrt{10}$.