Задача
Пусть(1 +$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$)n=pn+qn$\sqrt{2}$+rn$\sqrt{3}$+sn$\sqrt{6}$(n$\geqslant$0). Найдите: а) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{q_n}}$; б) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{r_n}}$; в) $\lim\limits_{n\to \infty}^{}$${\dfrac{p_n}{s_n}}$.
Решение
Воспользуемся методом задачи 11.36. Выбирая всевозможные комбинации знаков при числах$\sqrt{2}$и$\sqrt{3}$, получим равенства
| $\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ = (1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$)n | = | pn + qn$\displaystyle \sqrt{2}$ + rn$\displaystyle \sqrt{3}$ + sn$\displaystyle \sqrt{6}$, |
| $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ = (1 - $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$)n | = | pn - qn$\displaystyle \sqrt{2}$ + rn$\displaystyle \sqrt{3}$ - sn$\displaystyle \sqrt{6}$, |
| $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ = (1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$)n | = | pn + qn$\displaystyle \sqrt{2}$ - rn$\displaystyle \sqrt{3}$ - sn$\displaystyle \sqrt{6}$, |
| $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ = (1 - $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$)n | = | pn - qn$\displaystyle \sqrt{2}$ - rn$\displaystyle \sqrt{3}$ + sn$\displaystyle \sqrt{6}$. |
| pn | = | $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{4}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$), |
| qn | = | $\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt2}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$), |
| rn | = | $\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt3}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$), |
| sn | = | $\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt6}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$). |
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет