Задача 209920 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Докажите, что если <center> <img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_4.gif">=<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_5.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_6.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_7.gif">=

<...

Задача 209897 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Докажите, что если 0 < a, b < 1, то <img align="middle" src="/storage/problem-media/109897/problem_109897_img_2.gif"> .

Сонкин М. Медников Л. Э. Алгебраические неравенства и системы неравенств Алгебраические методы

Задача 209681 • Сложность: 3 • 7-9 класс

В треугольнике ABC (AB > BC) проведены медиана BM и биссектриса BL. Прямая, проходящая через точку M параллельно AB, пересекает BL в точке D, а прямая, проходящая через L параллельно BC, пересекает BM в точке E. Докажите, что прямые ED и BL перпендикулярны.

Сонкин М. Планиметрия

Задача 209661 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Точки A2, B2, C2 – середины дуг BAC, CBA, ACB описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2<...

Сонкин М. Планиметрия

Задача 209645 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Решите в целых числах уравнение (x² – y²)² = 1 + 16y.

Сонкин М. Теория чисел. Делимость Методы математического анализа

Задача 208249 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке K. Вторая окружность, также с центром O, пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F – её точки пересечения со сторонами соответственно AB и BC, ближайшие к вершине B; B1 и B2 – точки её пересечения со стороной AC, B1 – ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков B2<i...

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208246 • Сложность: 4 • 9-11 класс

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D . Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает сторону AC в точке M , а окружность, описанная около треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N (точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB .

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208245 • Сложность: 4 • 8-10 класс

Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S1 проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S2 в точках B и C, а через точку D окружности S2 – прямые DM и DN, пересекающие S1 в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN,...

Сонкин М. Терешин Д. А. Планиметрия

Задача 208244 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая, симметричная AB относительно CE, пересекает прямую, симметричную BC относительно AD, в точке K. Докажите, что KO ⊥ AC.

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208241 • Сложность: 3 • 8-9 класс

В треугольнике ABC (AB > BC) K и M – середины сторон AB и AC, O – точка пересечения биссектрис. Пусть P – точка пересечения прямых KM и CO, а точка Q такова, что QP ⊥ KM и QM || BO. Докажите, что QO ⊥ AC.

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208238 • Сложность: 4 • 8-10 класс

Дан треугольник A0B0C0. На отрезке A0B0отмечены точки A1, A2, ,An , а на отрезке B0C0– точки C1, C2, , Cn , причём все отрезки AiCi+1( i=0,1, n-1), параллельны между собой и все отрезки CiAi+1( i=0,1, n-1) – тоже. Отрезки C0A...

Сонкин М. Медников Л. Э. Планиметрия

Задача 208236 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Дан угол с вершиной B. Возьмём произвольную равнобедренную трапецию, боковые стороны которой лежат на сторонах данного угла. Через две противоположные её вершины проведём касательные к описанной около неё окружности. Через M обозначим точку пересечения этих касательных. Какую фигуру образуют все такие точки M?

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208235 • Сложность: 2 • 8-9 класс

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) на стороне AB выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC описаны окружности S1 и S2 соответственно. Касательная, проведённая к S1 в точке D, пересекает второй раз окружность S2 в точке M. Докажите, что BM || AC.

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208232 • Сложность: 3 • 8-9 класс

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N соответственно. Диагональ BD пересекает стороны AM и AN треугольника AMN соответственно в точках E и F , разбивая его на две части. Докажите, что эти две части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка K , определяемая условиями EK || AD , FK || AB , лежит на отрезке MN .

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208202 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Окружность с центром O вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB, BC и AC в точках E, F и D соответственно. Прямые AO и CO пересекают прямую EF в точках M и N. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN, точка O и точка D лежат на одной прямой.

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208200 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Окружность с центром O вписана в четырёхугольник ABCD и касается его непараллельных сторон BC и AD в точках E и F соответственно. Пусть прямая AO и отрезок EF пересекаются в точке K , прямая DO и отрезок EF – в точке N , а прямые BK и CN – в точке M . Докажите, что точки O , K , M и N лежат на одной окружности.

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208193 • Сложность: 4 • 8-10 класс

Окружности S1и S2с центрами O1и O2пересекаются в точках A и B (см рис.). Луч O1B пересекает окружность S2в точке F , а луч O2B пересекает окружность S1в точке E . Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой EF , вторично пересекает окружности S1и S2в точках M и N соответственно. Докажите, что MN=AE+AF .

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208192 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Дан четырёхугольник ABCD , в котором AB=AD и <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_2.gif"> ABC=<img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_2.gif"> ADC=90o . На сторонах BC и CD выбраны соответственно точки F и E так, что DF <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_3.gif"> AE . Докажите, что AF <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_3.gif"> BE .

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208190 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Окружности S1и S2с центрами O1и O2пересекаются в точках A и B . Окружность, проходящая через точки O1, O2и A , вторично пересекает окружность S1в точке D , окружность S2– в точке E , а прямую AB – в точке C . Докажите, что CD=CB=CE .

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208189 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Две окружности радиусов R и r касаются прямой l в точках A и B и пересекаются в точках C и D . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC не зависит от длины отрезка AB .

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208186 • Сложность: 3 • 8-9 класс

В равнобедренном треугольнике ABC ( AB=BC ) проведена биссектриса CD . Прямая, перпендикулярная CD и проходящая через центр описанной около треугольника ABC окружности, пересекает BC в точке E . Прямая, проходящая через точку E параллельно CD , пересекает AB в точке F . Докажите, что BE=FD .

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208184 • Сложность: 3 • 8-9 класс

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) точка O – центр описанной окружности, точка I – центр вписанной окружности, а точка D на стороне BC такова, что прямые OD и BI перпендикулярны. Докажите, что прямые ID и AC параллельны.

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208180 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Точки O1 и O2 – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). Описанные окружности треугольников ABC и O1O2A, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается описанной окружности треугольника O1O2A.

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208178 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан треугольник ABC. Точка B1 делит пополам длину ломаной ABC (составленной из отрезков AB и BC), точка C1 делит пополам длину ломаной ACB, точка A1 делит пополам длину ломаной CAB. Через точки A1, B1 и C1 проводятся прямые lA, lB и lC, параллельные биссектрисам углов BAC, ABC и ACB соотв...

Сонкин М. Планиметрия

Задача 208174 • Сложность: 3 • 8-9 класс

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AC, AB и BC в точках K, M и N соответственно. Медиана BB1 треугольника пересекает MN в точке D. Докажите, что точка O лежит на прямой DK.

Сонкин М. Планиметрия

Олимпиадные задачи по математике для 4-9 класса

Категории

Источники

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи по математике для 4-9 класса

Категории

Источники

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления