Олимпиадная задача по планиметрии: окружность, четырёхугольник и точки пересечения
Задача
Окружность с центром O вписана в четырёхугольник ABCD и касается его непараллельных сторон BC и AD в точках E и F соответственно. Пусть прямая AO и отрезок EF пересекаются в точке K , прямая DO и отрезок EF – в точке N , а прямые BK и CN – в точке M . Докажите, что точки O , K , M и N лежат на одной окружности.
Решение
Пусть вписанная окружность четырёхугольника ABCD касается его стороны AB в точке P . Из точек P и E отрезок OB виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OB . Докажем, что на этой окружности лежит и точка K .
Действительно, поскольку POA – половина центрального угла POF вписанной окружности данного четырёхугольника, а PEF – угол, вписанный
в эту окружность, то 
POA = PEF . Поэтому POK = PEK .
Значит, точка K лежит на окружности, проходящей через точки P , O и E ,
т.е. на окружности с диаметром OB Из доказанного следует, что BKO = 90o . Аналогично докажем,
что CND = 90o . Значит, из точек K и N отрезок OM виден под прямым углом. Следовательно, точки O , K , M и N лежат на
окружности с диаметром OM .
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь