Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: доказательство с точками P и Q в треугольнике ABC

  Пусть углы треугольника ABC равны 2α, 2β и 2γ соответственно. Опустим перпендикуляр OR на прямую AC. Пусть перпендикуляр к прямой KM, восставленный из точки P, пересекает прямую OR в точке Q'. Достаточно доказать, что  MQ' || BO,  так как это будет означать, что точки Q' и Q совпадают.

  Так как  KM || BC, то  ∠MPC= ∠BCP= ∠PCM= γ.  Значит, треугольникMPC– равнобедренный:  PM = MC = MA.  Следовательно, треугольник APC – прямоугольный.   ТочкиPиRлежат на окружности с диаметромAO, поэтому  ∠OPR= ∠OAR= α.   ТочкиPиRлежат на окружности с диаметромMQ', поэтому  ∠Q'MR= ∠Q'PR= ∠Q'PO+ ∠OPR= (90° – ∠OPM) + ∠OPR= 90° – γ + α.   Пусть прямаяBOпересекает сторонуACв точкеD. Тогда  ∠BDC= 180° – β – 2γ = α + 90° – γ = ∠Q'MR.  Следовательно,  BD || Q'M.

Ответ задачи отсутствует