Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: центр вписанной и описанной окружностей в равнобедренном треугольнике

  Если данный треугольник равносторонний (точки O и I совпадают), то утверждение очевидно.

  Проведём высоту CE. Пусть точка O лежит между точками I и C  (∠B > 60°),  а прямые OD и BI пересекаются в точке K. Положим  ∠B = ∠A = 2α.  Тогда  ∠EBI = ∠DBI = α,  BIE = 90° – α = ∠BDK,  ∠BIO = 180° – ∠BIE = 90° + α.

  Сумма противоположных угловBIOиBDOчетырёхугольникаKDBOравна 180°, то есть он – вписанный. Вписанные углыBDIиBOIего описанной окружности равны. Кроме того,BOI– внешний угол равнобедренного треугольникаBOC. Значит,  ∠BDI= ∠BOI= 2∠BCE= 180° – 4α = ∠DCA.  Следовательно,DI || AC .   Случай, когда точкаIлежит между точкамиOиC (∠B< 60°)  разбирается аналогично.

Ответ задачи отсутствует