Олимпиадная задача: центр вписанной окружности и планиметрия для 8–9 классов

  Лемма. Пусть P и Q – точки касания со сторонами соответственно XY и XZ окружности с центром I, вписанной в треугольник XYZ; T – точка пересечения прямых YI и PQ. Тогда  ∠YTZ = 90°.

  Доказательство. Пусть точка T (рис. слева) лежит вне отрезка PQ (например, на продолжении PQ за точку Q). Обозначим углы треугольника XYZ через α, β и γ. Из равнобедренного треугольника XPQ находим, что  ∠XPT = ∠XPQ = 90° – ^α/₂.  Поскольку XPT – внешний угол треугольника YPT, то

∠YTP = ∠XPT – ∠PYT = 90° – ^α/₂ – ^β/₂ = ^γ/₂ = ∠IZQ.

  Из точек T и Z, лежащих по одну сторону от прямой IQ, отрезок IQ виден под одним и тем же углом, равным ^γ/₂. Значит, эти точки лежат на одной окружности, а так как вписанный в эту окружность угол IQZ – прямой, то IZ – диаметр окружности. Следовательно,  ∠YTZ = ∠ITZ = 90°.

  Аналогично разбирается случай, когда точка T лежит на отрезке PQ.

  Продолжим отрезки AN и CM до пересечения в точке K (рис. справа). По лемме CN и AM – высоты треугольника AKC, а O – его ортоцентр. Поскольку  OD ⊥ AC,  то точка D – основание третьей высоты треугольника AKC. Точки N и M лежат на окружности с диаметром OK, поэтому центр этой окружности, как и точка O лежит на прямой KD.

Ответ задачи отсутствует