Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: доказательство равенства отрезков MN и AE+AF

Задача 208193 • Сложность: 4 • 8-10 класс
Задача

Окружности S1и S2с центрами O1и O2пересекаются в точках A и B (см рис.). Луч O1B пересекает окружность S2в точке F , а луч O2B пересекает окружность S1в точке E . Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой EF , вторично пересекает окружности S1и S2в точках M и N соответственно. Докажите, что MN=AE+AF .

Решение

Заметим, что BEO1и BFO2– углы при основаниях BE и BF равнобедренных треугольников BEO1и BFO2. Из равенства вертикальных углов O1BE и O2BF следует, что

O1EO2 = O1EB = O1BE = O2BF= BFO2 = O1FO2.

Значит, из точек E и F , лежащих по одну сторону от прямой O1O2, отрезок O1O2виден под одним и тем же углом. Поэтому точки E , F , O1, O2лежат на одной окружности. Обозначим её S .

Из равенства по трём сторонам треугольников O1BO2и O1AO2следует равенство углов O1BO2и O1AO2. Поэтому

O1AO2 + O1EO2 = O1BO2 + O1EB= O1BO2 + O1BE = 180o.

Значит, точки E , A , O1, O2лежат на одной окружности, а т.к. через через точки E , O1и O2, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность S , то на этой окружности лежат все пять точек A , E , F , O1и O2.

Вписанные в окружность S углы FEO2и AEO2опираются на равные хорды O2F и O2A (радиусы окружности S2), поэтому FEO2 = AEO2. С другой стороны, поскольку EF || MB , то FEO2 = MBE , значит,

AEB = AEO2 = FEO2 = MBE.

Вписанные в окружность S1равные углы MBE и AEB опираются на равные хорды ME и AB . Поэтому ABEM – равнобедренная трапеция. Её диагонали равны, т.е. AE=MB .

Аналогично докажем, что AF=BN . Следовательно,

MN= MB+BN = AE+AF.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет