Олимпиадная задача по планиметрии 8-9 класс: окружности, точки и равенство отрезков

Олимпиадная задача по планиметрии 8-9 класса Сонкина М.: окружности и равенство отрезков

Задача

Окружности S1и S2с центрами O1и O2пересекаются в точках A и B . Окружность, проходящая через точки O1, O2и A , вторично пересекает окружность S1в точке D , окружность S2– в точке E , а прямую AB – в точке C . Докажите, что CD=CB=CE .

Решение

Лемма.Если из точки P , лежащей вне окружности с центром O , проведены к окружности две секущие PXY и PZT под равными углами к PO , причём точка X лежит между P и Y , а точка Z – между P и T , то PX=PZ (рис.1). Доказательство.При симметрии относительно прямой PO окружность переходит в себя, луч PT переходит в луч PY , а точка Z , лежащая и на окружности, и на луче PT между точками P и T , – в точку X . Следовательно, PX=PZ .

Рассмотрим нашу задачу (рис.2). Поскольку вписанные углы DCO1и ACO1окружности, проходящей через точки O1, O2и A , опираются на равные хорды O1D и O1A (радиусы окружности S1), то